对勾函数与分式函数

分式函数是高中非常常见的一类函数，对勾函数是分式函数的特例，本文重点在于如何画出分式函数的图象，有了图象，各种问题都可以迎刃而解．分式函数形如$f(x)=\dfrac {m(x)}{n(x)}$，其中$m(x),n(x)$都是多项式函数，在这里默认$m(x),n(x)$没有公因式，且$n(x)$的次数不小于$1$．比较常见的是一次分式函数 $$f(x)=\dfrac {ax+b}{cx+d},c\ne 0$$ 与二次分式函数 $$g(x)=\dfrac {ax^2+bx+c}{mx^2+nx+l},a^2+m^2\ne 0.$$

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一次分式函数

对一次分式函数 $$f(x)=\dfrac {ax+b}{cx+d},ac\ne 0,$$ 可以用分离常数法将分子变成不含$x$的常数 $$\begin{split} f(x)=&\dfrac {ax+b}{cx+d}=\dfrac {a\left(x+\dfrac ba\right)}{c\left(x+\dfrac dc\right )}\\=&\dfrac{a\left(x+\dfrac dc\right )+a\left(\dfrac ba-\dfrac dc\right )}{c\left(x+\dfrac dc\right )}\\=&\dfrac ac+\dfrac {\dfrac {bc-ad}{c^2}}{x+\dfrac dc}.\end{split}$$ 记$m=\dfrac {bc-ad}{c^2}$，则$f(x)$的图象为反比例函数$y=\dfrac {m}{x}$经过平移得到的，从而知$f(x)$的定义域为$\left\{x\left|x\neq -\dfrac dc\right .\right \}$，值域为$\left \{y\left|y\neq \dfrac ac\right .\right \}$． 函数在区间$\left(-\infty,-\dfrac dc\right )$与$\left(-\dfrac dc,+\infty\right )$上的单调性与$bc-ad$的正负相关：当$bc-ad>0$时，在这两个区间上分别单调递减；当$bc-ad<0$时，在这两个区间上分别单调递增，如图．

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例题一　(1)已知$f(x)=\dfrac {3x+1}{2x-1}$，则$f(x)$的定义域为______，值域为_______，单调性是_______________；
(2)已知$f(x)=\dfrac {mx+2}{x+m}$在$(1,2)$上单调递增，则$m$的取值范围是___________．

分析与解　(1)分离常数得 $$f(x)=\dfrac 32+\dfrac {\dfrac 54}{x-\dfrac 12},$$ 所以$f(x)$的定义域为$\left\{x\left|x\ne \dfrac 12\right .\right \}$，值域为$\left\{y\left|y\ne \dfrac 32\right .\right \}$，在区间$\left(-\infty,\dfrac 12\right )$与$\left(\dfrac 12,+\infty\right )$上单调递减；

(2)分离常数得 $$f(x)=\dfrac {m(x+m)+(2-m^2)}{x+m}=m+\dfrac {2-m^2}{x+m}.$$ 由$f(x)$在$(1,2)$上单调递增知$2-m^2<0$，解得$m>\sqrt 2$或$m<-\sqrt 2$，此时我们知道$f(x)$在$(-\infty,-m)$与$(-m,+\infty)$上单调递增，所以只需要$(1,2)\subseteq (-\infty,-m)$或$(1,2)\subseteq (-m,+\infty)$即可，从而有$-m\geqslant 2$或$-m\leqslant 1$，解得$m\leqslant -2$或$m\geqslant -1$．
综上知，$m\leqslant -2$或$m>\sqrt 2$．
注　事实上只需要$-m\notin (1,2)$即可．

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在介绍二次分式函数前，先来看看对勾函数：

形如 $$y=ax+\dfrac bx,ab\ne 0$$ 的函数称为对勾函数．因为函数$y=a\left(x+\dfrac mx\right ),m=\dfrac ba\ne 0$与函数$f(x)=x+\dfrac mx$的单调区间相同($a>0$)或相反($a<0$)，为了方便，我们直接看函数$f(x)=x+\dfrac mx$的图象，通过求导或者由单调性的定义可得到$f(x)$的单调区间，如图：

当$m<0$时，$f(x)$在$(-\infty,0)$与$(0,+\infty)$上单调递增；当$m>0$时，$f(x)$在$(-\infty,-\sqrt m)$与$(\sqrt m,+\infty)$上单调递增，在$(-\sqrt m,0)$与$(0,\sqrt m)$上单调递减．
注　也有些地方只称后一种图象对应的函数为对勾函数，因为此函数的图象形似“对勾”，正是对勾函数名称的由来．

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二次分式函数

对于二次分式函数 $$g(x)=\dfrac {ax^2+bx+c}{mx^2+nx+l},$$ $a,m$不同时为零，我们先就最一般的情况讨论，即各参数均不为零的情况：
①先通过分离常数法将分子化为一次式，得到形如$y=\dfrac {dx+e}{mx^2+nx+l}+\dfrac am$的函数；
②令$t=x+\dfrac ed,d\ne 0$，当$t\ne 0$时有 $$y=\dfrac {dt}{pt^2+qt+r}+\dfrac am=\dfrac {1}{\left(\dfrac pdt+\dfrac {r}{dt}\right )+\dfrac qd}+\dfrac am.$$ 于是我们知道，二次分式函数的图象可以由一个对勾函数的图象平移后“取倒数”再平移得到．

特别地，当$a=0,b=0$时，二次分式函数是一个二次函数的倒数；
当$m=0$时，直接对分母换元，对应的二次分式函数直接由一个对勾函数平移得到．

于是，我们知道所有二次分式函数都可以由对勾函数或二次函数的图象得到．下面以具体二次分式函数为例看看取倒数后图象的变化情况．

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例题二　请画出下列函数的草图，并写出单调区间．

(1)$f(x)=\dfrac {x}{x^2+1}$，$g(x)=\dfrac {x}{x^2-1}$；

(2)$f(x)=\dfrac {1}{x^2+2x+3}$，$g(x)=\dfrac {1}{x^2+2x}$；

(3)$f(x)=\dfrac {x^2-x+1}{x^2+x+1}$，$g(x)=\dfrac {x-1}{x^2+x}$．

分析与解　(1)$f(x),g(x)$分别是对勾函数$y=x+\dfrac 1x$与$y=x-\dfrac 1x$的倒数，所以它们的图象如下：取倒数需要注意的是零点、不在定义域内的点（函数值趋于无穷）以及单调性变化的点．在每一个单调区间上，取倒数后的函数的单调性都正好发生变化，原来是增的（减的），取倒数后变成减的（增的）；原来函数值是无穷大的，取倒数后变成零；原来函数值为零的，取倒数后变成无穷大．

由复合函数的单调性或求导得到$f(x)$在$(-\infty,-1)$与$(1,+\infty)$上单调递减，在$(-1,1)$上单调递增；$g(x)$在$(-\infty,-1)$，$(-1,1)$，$(1,+\infty)$上都单调递减．

(2)先画出二次函数的图象，再根据上面的分析类似得到它的倒数的图象：

$f(x)$在$(-\infty,-1)$上单调递增，在$(-1,+\infty)$上单调递减；$g(x)$在$(-\infty,-2)$与$(-2,-1)$上单调递增，在$(-1,0)$与$(0,+\infty)$上单调递减．

(3)因为 $$f(x)=1-\dfrac {2x}{x^2+x+1}=1-\dfrac 2{x+\dfrac 1x+1},$$ 我们可以由$y=x+\dfrac 1x$的图象向上平移一个单位，取倒数，再关于$x$轴对称，最后向上平移一个单位得到$f(x)$的图象，如图：所以$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$(1,+\infty)$上单调递增；在$(-1,1)$上单调递减．

下面看$g(x)$：令$t=x-1$，则$g(x)=\dfrac {t}{t^2+3t+2}$，先研究函数$y=\dfrac {x}{x^2+3x+2}$的图象，再向右平移一个单位即可得$g(x)$的图象．
因为$y=\dfrac {x}{x^2+3x+2}=\dfrac {1}{x+\dfrac 2x+3}$，先画函数$y=x+\dfrac 2x+3$的图象，注意它的单调性变化的点$x=\pm\sqrt 2$与零点$x=-1,-2$，再根据取倒数后每个单调区间单调性相反可得：最后将此函数的图象向右平移一个单位即可，图略．最后得到$g(x)$在$(-\infty,-1)$，$(-1,-\sqrt 2+1)$上单调递减，在$(-\sqrt 2+1,0)$，$(0,\sqrt 2+1)$上单调递增；在$(\sqrt 2+1,+\infty)$上单调递减．

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最后给出两道练习：

练习一　(1)已知$f(x)=\dfrac {3x-1}{2x+1}$，则$f(x)$的定义域为______，值域为_______，单调性是_______________；
(2)已知$f(x)=\dfrac {mx-3}{x-m}$在$(-1,1)$上单调递增，则$m$的取值范围是___________．

答案　(1)$\left\{x\left|x\ne -\dfrac 12\right .\right \}$，$\left\{y\left|y\ne \dfrac 32\right .\right \}$，在$\left(-\infty,-\dfrac 12\right )$与$\left(-\dfrac 12,+\infty\right )$上单调递增．

(2)$(-\sqrt 3,-1]\cup[1,\sqrt 3)$．

练习二　画出函数$f(x)=\dfrac {1}{2x-x^2}$与$g(x)=\dfrac {x}{x^2-2x+4}$的草图．
提示　注意单调性变化的点，定义域中的间断点以及无穷远点．