初高衔接[2]十字相乘法与猜根

因式分解中还有一类最常见的就是对二次三项式$ax^2+bx+c$的分解，最简单有效的方法是十字相乘法（注意，并不是所有二次三项式都能分解）．初中时，对$a=1$的情况关注较多，我们重点练习$a\ne 1$的情况．这是高中必备基本功，需要熟练掌握．

十字相乘的思路很简单，如果

$$\begin{split} ax^2+bx+c=&(a_1x+c_1)(a_2x+c_2)\\=&a_1a_2x^2+(a_1c_2+a_2c_1)x+c_1c_2.\end{split}$$ 我们将系数按以下方式排列：第一列是$a$分解出的数$a=a_1a_2$，第二列是$c$分解出的数$c=c_1c_2$，一次项是交叉相乘后相加得到的数$b=a_1c_2+a_2c_1$．第一列的数是$x$前面的系数，第一行与第二行分别对应一个因式．

在十字相乘过程中，先对$a$与$c$进行因数分解，然后进行尝试．比如分解因式

$$6x^2-7x+2.$$ 解　因为一次项系数为$-7$，尝试分解$6,2$，有 $$6=2\times 3=1\times 6,2=(-1)\times (-2),$$ 再去检验各种排列，最后得到所以$6x^2-7x+2=(2x-1)(3x-2)$．

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例题一　分解因式：

(1)$6x^2-13x+6$；
(2)$4x^2+4x-15$；
(3)$10x^2-21xy+2y^2$；
(4)$-8a^2x^2-7ax+1$．

分析　注意二次齐次式$ax^2+bxy+cy^2$的分解与二次三项式一样，且二次三项式中的$x$也可以是$x^2,xy$，或者可以看成整体的任何式子．以(4)为例，将系数拿出十字相乘第一列是$ax$的系数，故分解为$(-8ax+1)(ax+1)$．

答案　(1)$(2x-3)(3x-2)$；
(2)$(2x-3)(2x+5)$；
(3)$(x-2y)(10x-y)$；
(4)$(ax+1)(-8ax+1)$．

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除了二次三项式之外，高中有时会遇到简单的三次多项式的分解，比如：分解因式

$$6x^3-5x^2-2x+1.$$ 分解的思路有很多，比如可以进行各种拆项分组等，但涉及的技巧较多，这里介绍一种以后常用易上手的方式——猜根．

对于多项式来说，如果当$x=a$时，多项式的值为零（我们称$a$为多项式的零点或根），则此多项式有一个因式为$x-a$．而对于一个三次多项式来说，一旦得到一个一次因式，那么剩下的一定是个二次三项式，我们就可以通过十字相乘法尝试分解了．我们以$6x^3-5x^2-2x+1$为例看看猜根法分解因式的过程．

解　当$x=1$时，$6x^3-5x^2-2x+1=0$，所以此多项式有因式$x-1$，即

$$6x^3-5x^2-2x+1=(x-1)(ax^2+bx+c).$$ 再去求$a,b,c$的值．

通过右边展开式的系数对比，先考虑$x^3$项知$a=6$；再考虑常数项知$c=-1$；求$b$的值可以考虑$x^2$项系数，有$b-a=-5$，从而$b=a-5=1$；也可以考虑$x$项系数，有$c-b=-2$，解得$b=c+2=1$．于是有

$$\begin{split} 6x^3-5x^2-2x+1=&(x-1)(6x^2+x-1)\\=&(x-1)(2x+1)(3x-1).\end{split}$$ 通过多项式的除法（长除法）可以直接求出因式$ax^2+bx+c$，与数的除法类似，一直考虑最高次项的抵消即可，过程如下：

猜根时，常见的零点有

$$1,-1,2,-2,\dfrac 12,-\dfrac 12.$$ 得到零点$a$后，多项式有因式$x-a$．不要忘记得到这个一次式后，剩下的二次式也要考虑是否可以分解．

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例题二　分解因式：
(1)$x^3+2x^2+2x+1$；
(2)$x^3-9x^2+26x-24$；
(3)$24x^3-14x^2-x+1$．

分析与解　(1)很容易猜出(1)中有根$-1$，于是(1)中有因式$x+1$，从而有

$$x^3+2x^2+2x+1=(x+1)(x^2+x+1);$$ 注意，$x^2+x+1$不可再分解，因为它的判别式为负；

对于(2)(3)，猜根也有一些方向，如果一个三次多项式

$$ax^3+bx^2+cx+d=(mx+n)(px^2+qx+l),$$ 则$m$是$a$的因数，$n$是$d$的因数．所以(2)中的根不是分数，往$\pm 1,\pm 2$上猜；(3)中的根应该是分数，试根$\dfrac 12,-\dfrac 12,\dfrac 13\cdots$．

(2)计算知$2$是它的一个根，故

$$\begin{split} x^3-9x^2+26x-24=&(x-2)(x^2-7x+12)\\=&(x-2)(x-3)(x-4);\end{split}$$ (3)计算知$\dfrac 12$是它的一个根，故 $$\begin{split}24x^3-14x^2-x+1=&(2x-1)(12x^2-x-1)\\=&(2x-1)(3x-1)(4x+1).\end{split}$$

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最后给出两组练习：

练习一　分解因式：
(1)$2x^2+x-6$；
(2)$4x^2+15x+9$；
(3)$8x^2+6x-35$；
(4)$18x^2-21x+5$；
(5)$20-9y-20y^2$；
(6)$5x^2-8x-13$；
(7)$12x^2-19xy+7y^2$；
(8)$12x^2y^2-11xy-15$．

答案　(1)$(x+2)(2x-3)$；
(2)$(x+3)(4x+3)$；
(3)$(2x+5)(4x-7)$；
(4)$(3x-1)(6x-5)$；
(5)$(4-5y)(5+4y)$；
(6)$(x+1)(5x-13)$；
(7)$(x-y)(12x-7y)$；
(8)$(3xy-5)(4xy+3)$．

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练习二　分解因式：
(1)$2x^3-x^2-5x-2$；
(2)$3x^3-5x^2-11x-3$．

答案　(1)$(x+1)(x-2)(2x+1)$；
(2)$(x+1)(x-3)(3x+1)$．