直线的法向量与平行垂直直线系

初中时，我们接触的直线方程为$y=kx+b$的形式，而在高中，我们有时会直接面对直线的一般式方程$Ax+By+C=0$，需要我们去习惯不转化成斜截式，直接得到与它平行或垂直的直线．我们可以借助于直线的法向量（是指与直线垂直的向量）去理解与记忆，直线$Ax+By+C=0$的法向量$\overrightarrow n=(A,B)$，如图．

证明　因为若$(x_0,y_0)$与$(x,y)$（$x\ne x_0$）都是直线$Ax+By+C=0$上的点，则有

$$\begin{cases} Ax+By+C=0,\\Ax_0+By_0+C=0,\end{cases}$$ 两式相减得 $$A(x-x_0)+B(y-y_0)=0,$$ 而$(x-x_0,y-y_0)$是直线的方向向量，所以$(A,B)$是直线的法向量．由此我们很容易得到直线$A_1x+B_1y+C_1=0$与直线$A_2x+B_2y+C_2=0$垂直，则有 $$(A_1,B_1)\cdot(A_2,B_2)=A_1A_2+B_1B_2=0.$$ 于是有下面的结论：

与直线$Ax+By+C=0$平行的直线系为$Ax+By+m=0$，且这两条平行线之间的距离为$\dfrac{|C-m|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；

与直线$Ax+By+C=0$垂直的直线系为$Bx-Ay+n=0$．

我们利用这些结论可以去快速解决一些与直线的一般方程相关的问题：

例题一　(1)与直线$3x+4y-1=0$平行，且经过点$(1,1)$的直线方程为__________；
(2)与直线$3x+4y-1=0$垂直，且经过点$(1,1)$的直线方程为__________；
(3)与直线$3x+4y-1=0$平行，且与它距离为$1$的直线方程为_______________．

分析与解　(1)方程必然具有$3x+4y+m=0$的形式，又因为$(1,1)$满足该方程，所以可以直接写出所求方程$3x+4y-7=0$；

(2)可以直接写出方程$4x-3y-1=0$；

(3)所求直线方程具有$3x+4y+m=0$的形式，由两条平行线间距离公式知

$$\dfrac {|m+1|}{5}=1,$$ 解得 $$m=4\lor m=-6.$$ 即所求直线方程为$3x+4y+4=0$与$3x+4y-6=0$．

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例题二　正方形中心在$C(1,1)$，一条边所在直线为$l:3x-4y-5=0$，则其余三边所在直线为____________．

分析与解　先直接写出过中心，与$l$平行的直线$m:3x-4y+1=0$，与$l$垂直的直线$n:4x+3y-7=0$．在$x,y$前面系数相同的情况下，两条平行线之间的距离与常数项的差成比例，所以与$l$平行的正方形的另一条边的方程为

$$3x-4y+[2\cdot 1-(-5)]=3x-4y+7=0.$$ 而因为$\sqrt{A^2+B^2}=\sqrt{(-B)^2+A^2}$，所以与$l$垂直的两条边所在直线也可以直接写出，为 $$4x+3y-7\pm 6=0,$$ 即$4x+3y-13=0$与$4x+3y-1=0$．

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最后给出一道练习，直接瞪眼写出结果吧．

练习　正方形的中心为点$M(-1,0)$，一条边所在直线方程为$x+3y-5=0$，写出其他三边所在直线的方程．

答案　$x+3y+7=0$、$3x-y-3=0$、$3x-y+9=0$．