指对混合不等式的证明技巧（二）

有一类常见的指对混合不等式形如

$$x^{k}\cdot {\rm e}^x-\ln x>p,$$ 其中$k,p$均为常数．接下来我们学习山东郑海明老师对于这类不等式的证明技巧．

首先，考虑函数$f(x)=\dfrac{{\rm e}^x}{x^m}$，其导函数

$$f'(x)=\dfrac{{\rm e}^x(x-m)}{x^{m+1}},$$ 于是函数$f(x)$的极小值点为$x=m$，进而其极小值，亦为最小值是 $$f(m)=\dfrac{{\rm e}^m}{m^m}.$$

接下来，考虑函数$g(x)=\dfrac{\ln x+a}{x^n}$，其导函数

$$g'(x)=n\cdot \dfrac{\left(\dfrac 1n-a\right)-\ln x}{x^{n+1}},$$ 于是函数$g(x)$的极大值点为$x={\rm e}^{\frac 1n-a}$，进而其极大值，亦为最大值为 $$g\left({\rm e}^{\frac 1n-a}\right)=\dfrac{{\rm e}^{na-1}}n.$$

然后将两个最值连接．

方式一

令

$$\dfrac{{\rm e}^m}{m^m}= \dfrac{{\rm e}^{na-1}}{n},$$ 等价于 $$a=\dfrac{m-m\ln m+1+\ln n}{n}.$$ 理论上来说，如果原指对混合不等式的极值点为$x=x_0$，那么我们恰当的取$m,n$(其中$n=m+k$，$m\approx x_0$)就可以完成证明： $$\dfrac{{\rm e}^x}{x^m}\geqslant \dfrac{{\rm e}^m}{m^m}=\dfrac{{\rm e}^{na-1}}n\geqslant \dfrac{\ln x+a}{x^n},$$ 即 $$x^{n-m}\cdot {\rm e}^x-\ln x\geqslant a>p.$$

方式二

直接证明

$${\rm e}^{m+1-np}>\dfrac{m^m}{n}$$ 即可，特别的，当$m=\dfrac 12$时(因为欲证明的不等式极值点总是在$\dfrac 12$附近)，原不等式等价于 $${\rm e}^{3-(2k+1)p}>\dfrac{2}{(2k+1)^2}.$$

例一    证明：${\rm e}^x-\ln x>2.3$．

证明    取$n=m$，则

$$a= 1-\ln m+\dfrac 1m+\dfrac{\ln m}m,$$ 考虑到欲证明的不等式左边极值点在$x=\dfrac 12$附近，取$m=\dfrac 12$，则 $$RHS\geqslant 3-\ln 2>2.3068>2.3,$$ 于是原不等式得证，书写如下： $$\dfrac{{\rm e}^x}{\sqrt x}\geqslant \sqrt{2{\rm e}}= 2{\rm e}^{\frac {1-\ln 2}2}\geqslant\dfrac{\ln x+3-\ln 2}{\sqrt x},$$ 因此 $${\rm e}^x-\ln x\geqslant 3-\ln 2>2.3068>2.3.$$

例二    证明：$x{\rm e}^x-\ln x>1.5$．

证明    取$n=m+1$，$m=\dfrac 12$，则原不等式等价于

$${\rm e}^{3-4.5}>\dfrac{2}{9},$$ 也即 $${\rm e}^3<\dfrac{81}{4},$$ 因此原不等式得证，书写如下： $$\dfrac{{\rm e}^x}{\sqrt x}\geqslant \sqrt{2{\rm e}}\geqslant \dfrac 23{\rm e}^{\frac 54}\geqslant \dfrac{\ln x+\dfrac 32}{x^{\frac 32}},$$ 因此 $$x{\rm e}^x-\ln x>1.5.$$

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练习1、证明：$x^2{\rm e}^x-\ln x>1.1$．

练习2、证明：$x^{\frac 32}{\rm e}^x-\ln x>\dfrac 54$．

注    函数$g(x)=\dfrac{\ln x+a}{x^n}$的极值点易求这点至关重要．掌握这一点就可以将这个方法灵活地运用于其他包含对数的不等式中去．