基本事件空间的列举

正确列举基本事件空间是解决古典概型问题的关键，在实际问题中，有时直接呈现的结果并不是基本事件，而是包含了一些基本事件的事件，比如：

投掷两枚完全相同的骰子，求它们的点数之和为$4$的概率．

两枚骰子的点数之和的所有可能的结果有$2,3,4,\cdots,12$，但这些结果却不是基本事件，还可以进行分解．比如点数之和为$4$，可能一颗骰子是$1$点，另外一颗骰子是$3$点；也可能两颗骰子都是$2$点．

那么两颗骰子的点数分别为$1,3$，这是一个基本事件吗？

仍然不是，事实上，它包含了两个基本事件$(1,3)$与$(3,1)$．

要搞清楚基本事件空间，需要将事件划分到最小，同时需要寻找一个合适的记录方式．比如在本题中，两颗骰子需要编号为骰子$A$与骰子$B$，将$A$的点数$x$与$B$的点数$y$用有序实数对记为$(x,y)$，那么每种结果$(x,y)$就是一个基本事件，出现每种结果的可能性都相同．（考虑到只学过高一必修$3$的同学，本文只用到计数中的加法原理与乘法原理，避开了更复杂的计数）

---

例题一　袋中有大小形状完全相同的三个红球和两个白球，

（1）从袋中一次任取两个球，求它们恰为一红一白的概率．

（2）从袋中无放回地任取两次，每次取一个球，求它们恰为一红一白的概率．

（3）从袋中有放回地任取两次，每次取一个球，求它们恰为一红一白的概率．

分析与解　首先需要对这些球进行区分，我们记红球为$A_1,A_2,A_3$，白球为$B_1,B_2$，虽然这些球是完全相同的，但是为了记录基本事件，每个球都标记为不同的．

（1）一次任取两个球时，结果与顺序无关，记录基本事件用集合，基本事件空间包括

$$\{A_1,A_2\},\{A_1,A_3\},\{A_1,B_1\},\{A_1,B_2\},\{A_2,A_3\},\cdots,\{B_1,B_2\},$$ 共$10$个元素．

其中恰好为一红一白的事件包含$6$个基本事件

$$\{A_1,B_1\},\{A_1,B_2\},\{A_2,B_1\},\{A_2,B_2\},\{A_3,B_1\},\{A_3,B_2\},$$ 所以所求概率为 $$P_1=\dfrac {6}{10}=\dfrac 35.$$

（2）无放回地任取两次，每次取一个球是与顺序相关的，记录基本事件用有序实数对，基本事件空间包括

$$(A_1,A_2),(A_1,A_3),(A_1,B_1),(A_1,B_2),(A_2,A_1),\cdots,(B_2,B_1),$$ 共$20$个元素．

其中恰好为一红一白的事件包含$12$个基本事件，所以所求概率为

$$P_2=\dfrac {12}{20}=\dfrac 35.$$

（3）有放回地任取两次，结果仍然是与顺序相关的，与（2）相比，多出了$5$个基本事件

$$(A_1,A_1),(A_2,A_2),(A_3,A_3),(B_1,B_1),(B_2,B_2),$$ 所以基本事件空间包含$25$个元素，所求概率为 $$P_3=\dfrac {12}{25}.$$

注　（1）（2）的概率相同不是偶然的，从袋中一次任取两球可以是一次一次取，所以将（1）理解成有序的也完全没问题．但对于大部分问题来说，问题的本质都是有序的，即便题面呈现的是不需要考虑顺序或者不需要考虑球与球的不同，我们求概率时也认为物体是不同的，因为只有这样，才可能记录出基本事件，并满足古典概型的前提——每个基本事件的发生都是等可能的．

---

例题二　（1）同时抛掷三枚完全相同的骰子，记录它们的点数，求点数之和为$9$的概率；

（2）将一颗骰子先后抛掷三次，记录它们的点数，求点数之和为$9$的概率．

分析　掷骰子就相当于有放回地抽取，基本事件一定是有序的，不管是抛掷三枚骰子还是将一枚骰子投掷三次，基本事件的记录都是用有序数组，如$(6,3,2)$，所以这里的（1）（2）是同一个问题，只是在（1）中，这三个数分别对应三颗编了号的骰子的点数，在（2）中，这三个数分别对应三次抛掷后记录的点数．

解　基本事件空间包含的基本事件数有$6\times 6\times 6=216$个．对$9$进行分解得

$$9=1+2+6=1+3+5=1+4+4=2+2+5=2+3+4=3+3+3,$$ 如果三颗骰子点数不同，如$1,2,6$，则包含的基本事件有$6$个 $$(1,2,6),(1,6,2),(2,1,6),(2,6,1),(6,1,2),(6,2,1),$$ 如果三颗骰子中有两颗骰子点数相同，如$1,4,4$，则对应的基本事件有$3$个 $$(1,4,4),(4,1,4),(4,4,1),$$ 如果三颗骰子点数均相同，对应的基本事件只有一个，故点数之和为$9$对应的基本事件数为 $$6+6+3+3+6+1=25,$$ 从而所求概率为 $$P=\dfrac{25}{216}.$$

---

最后给出两道练习：

练习一　箱中有三个正品，一个次品，从箱中随机抽取产品进行检验．

（1）若从中一次抽取两件产品，求两件均是正品的概率；

（2）若从中不放回地抽取两次，每次抽取一件产品，求两件均是正品的概率；

（3）若从中有放回地抽取两次，每次抽取一件，求两件均是正品的概率．

答案　（1）$\dfrac 12$；（2）$\dfrac 12$；（3）$\dfrac {9}{16}$．

---

练习二　袋中装有大小、形状均相同的六个球，其中编号为$1$的球有$1$个，编号为$2$的球有$2$个，编号为$3$的球有$3$个．

（1）从中任取两个球，求两个球的编号数字之和为$4$的概率；

（2）从中有放回地取两次球，每次取一个记下编号，求两次所取球的编号数字和为$4$的概率．

答案　（1）$\dfrac {4}{15}$；（2）$\dfrac 5{18}$．