对数函数三板斧之毁尸灭迹

对于$\ln x$的放缩最常用的不等式是

$$\forall x>0,\ln x\leqslant x-1,$$ 示意图如下：

利用这个放缩，我们可以把$\ln x$变成多项式函数，从而给解决问题提供了很多便利，比如上周每周一招[6]$\ln x$三板斧之“偷天换日”的例题二中，最后需要证明

$$\forall t\in(1,\sqrt 3),2\ln t+t-1<\dfrac {9(t^2-1)}{t^2+5}.$$ 就可以利用这个不等式，转化成证明 $$\forall t\in (1,\sqrt 3),3(t-1)<\dfrac {9(t^2-1)}{t^2+5},$$ 即 $$\forall t\in(1,\sqrt 3),\dfrac {3(t-1)^2(t-2)}{t^2+5}<0.$$ 此不等式显然成立．

例题一　（2013新课标II卷压轴题）已知$f(x)={\mathrm e}^x-\ln(x+m)$，证明：当$m\leqslant 2$时，$f(x)>0$．

分析与证明　首先$m\leqslant 2$时，有$f(x)\geqslant {\mathrm e}^x-\ln(x+2)$，只需要证明

$${\mathrm e}^x-\ln(x+2)>0$$ 即可．

我们知道

$$\forall x>0,\ln x\leqslant x-1,$$ 当且仅当$x=1$时取等号．

于是有

$$\forall x>-1,x\geqslant \ln(x+1),$$ 当且仅当$x=0$时取等号，两边取以$\mathrm e$为底的指数得到 $${\mathrm e}^x\geqslant x+1,$$ （$x+1\leqslant 0$时，不等式显然成立）

于是我们知道

$${\mathrm e}^x\geqslant x+1\geqslant \ln(x+1+1),$$ 等号不同时取到，所以有${\mathrm e}^x-\ln(x+2)>0$，命题得证．

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我们还常在数列求和中用到这个放缩去估计和式的上下界，比如下面的问题：

例题二　证明：$\ln(n+1)<\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac 1k}\leqslant 1+\ln n$．

分析与证明　因为

$$\forall x>-1,x\geqslant \ln(1+x).$$ 取$x=\dfrac 1k,k=1,2,\cdots,n$，则有 $$\dfrac 1k\geqslant \ln\left(1+\dfrac 1k\right)=\ln(k+1)-\ln k,$$ 将这$n$个不等式左右分别求和得 $$\sum_{k=1}^n{\dfrac 1k}>\ln(n+1).$$ 再取$x=-\dfrac 1k,k=2,3,\cdots,n$，有 $$-\dfrac 1k\geqslant \ln\left(1-\dfrac 1k\right )=\ln(k-1)-\ln k,$$ 将这$n-1$个不等式左右分别求和得 $$-\sum_{k=2}^n\dfrac 1k>-\ln n,$$ 从而有 $$\sum_{k=1}^n{\dfrac 1k}\leqslant 1+\ln n.$$ 当$n=1$时取到等号．

综上，不等式得证．

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最后给出两道练习：

练习一　已知$f(x)=x-\ln(x+m)$，若$f(x)\geqslant 0$恒成立，求$m$的取值范围．

答案　$m\leqslant 1$．

提示　因为$\ln(x+1)\leqslant x$，故$m\leqslant 1$时，恒有

$$\ln(x+m)\leqslant \ln(x+1)\leqslant x$$ 满足题意；

又因为$f(-m+1)=-m+1\geqslant 0$，所以$m\leqslant 1$；

综上知，$m\leqslant 1$即为所求．

练习二　已知$\ln (x+1)\leqslant x$对$x>-1$恒成立，利用此结论证明：$\ln x\geqslant 1-\dfrac 1x$．

提示　令$x=\dfrac 1t-1$，即$t=\dfrac 1{x+1}>0$，不等式转化为$\ln\dfrac 1t\leqslant \dfrac 1t-1$，即

$$\forall x>0,\ln x\geqslant 1-\dfrac 1x.$$

注　在$x\in (0,1)$时，这个不等式给出了$\ln x$的一个有意义的下界，即$\ln x>1-\dfrac 1x$．事实上，本节中给出的$\ln x$的界还不够精细，下一节我们会介绍对数-平均值不等式（A-L-G不等式），这个不等式会给出$\ln x$的更加精确的界．