对于lnx的放缩最常用的不等式是∀x>0,lnx⩽示意图如下:
利用这个放缩,我们可以把\ln x变成多项式函数,从而给解决问题提供了很多便利,比如上周每周一招[6]\ln x三板斧之“偷天换日”的例题二中,最后需要证明\forall t\in(1,\sqrt 3),2\ln t+t-1<\dfrac {9(t^2-1)}{t^2+5}.就可以利用这个不等式,转化成证明\forall t\in (1,\sqrt 3),3(t-1)<\dfrac {9(t^2-1)}{t^2+5},即\forall t\in(1,\sqrt 3),\dfrac {3(t-1)^2(t-2)}{t^2+5}<0.此不等式显然成立.
例题一 (2013新课标II卷压轴题)已知f(x)={\mathrm e}^x-\ln(x+m),证明:当m\leqslant 2时,f(x)>0.
分析与证明 首先m\leqslant 2时,有f(x)\geqslant {\mathrm e}^x-\ln(x+2),只需要证明{\mathrm e}^x-\ln(x+2)>0即可.
我们知道\forall x>0,\ln x\leqslant x-1,当且仅当x=1时取等号.
于是有\forall x>-1,x\geqslant \ln(x+1),当且仅当x=0时取等号,两边取以\mathrm e为底的指数得到{\mathrm e}^x\geqslant x+1,(x+1\leqslant 0时,不等式显然成立)
于是我们知道{\mathrm e}^x\geqslant x+1\geqslant \ln(x+1+1),等号不同时取到,所以有{\mathrm e}^x-\ln(x+2)>0,命题得证.
我们还常在数列求和中用到这个放缩去估计和式的上下界,比如下面的问题:
例题二 证明:\ln(n+1)<\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac 1k}\leqslant 1+\ln n.
分析与证明 因为\forall x>-1,x\geqslant \ln(1+x).取x=\dfrac 1k,k=1,2,\cdots,n,则有\dfrac 1k\geqslant \ln\left(1+\dfrac 1k\right)=\ln(k+1)-\ln k,将这n个不等式左右分别求和得\sum_{k=1}^n{\dfrac 1k}>\ln(n+1).再取x=-\dfrac 1k,k=2,3,\cdots,n,有-\dfrac 1k\geqslant \ln\left(1-\dfrac 1k\right )=\ln(k-1)-\ln k,将这n-1个不等式左右分别求和得-\sum_{k=2}^n\dfrac 1k>-\ln n,从而有\sum_{k=1}^n{\dfrac 1k}\leqslant 1+\ln n.当n=1时取到等号.
综上,不等式得证.
最后给出两道练习:
练习一 已知f(x)=x-\ln(x+m),若f(x)\geqslant 0恒成立,求m的取值范围.
答案 m\leqslant 1.
提示 因为\ln(x+1)\leqslant x,故m\leqslant 1时,恒有\ln(x+m)\leqslant \ln(x+1)\leqslant x满足题意;
又因为f(-m+1)=-m+1\geqslant 0,所以m\leqslant 1;
综上知,m\leqslant 1即为所求.
练习二 已知\ln (x+1)\leqslant x对x>-1恒成立,利用此结论证明:\ln x\geqslant 1-\dfrac 1x.
提示 令x=\dfrac 1t-1,即t=\dfrac 1{x+1}>0,不等式转化为\ln\dfrac 1t\leqslant \dfrac 1t-1,即\forall x>0,\ln x\geqslant 1-\dfrac 1x.
注 在x\in (0,1)时,这个不等式给出了\ln x的一个有意义的下界,即\ln x>1-\dfrac 1x.事实上,本节中给出的\ln x的界还不够精细,下一节我们会介绍对数-平均值不等式(A-L-G不等式),这个不等式会给出\ln x的更加精确的界.
A-L-G不等式以前不是发过了么http://lanqi.org/skills/9126/