级数求和之等比放缩

对于级数求和之后的放缩一直是高中数学的一个难点，对于可以求和的，求和之后再放缩比较容易，对于不能求和的式子，就需要先对求和的式子进行放缩，以使得它可以求和，放缩的方向主要有两个，一个是往等比数列方向进行放缩，另一个是往可以裂项求和的方向进行放缩．这里我们先来说说往等比数列方向进行放缩．

要证明数列$\{a_n\}$的前$n$项和小于某个常数即

$$\sum\limits_{k=1}^na_k<C,$$ 那么我们去寻找一个公比$q$小于$1$的等比数列$\{b_n\}$使得$a_n<b_n$，则有 $$\sum\limits_{k=1}^n{a_k}<\sum_{k=1}^n{b_k}<\dfrac {b_1}{1-q},$$ 如果有$\dfrac {b_1}{1-q}<C$，则不等式得证，有时为了使得这个不等式成立，需要调整开始的项数，比如第三项开始放缩．比如，我们想证明 $$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{4^k+2}<\dfrac 13.$$ 那么我们很容易发现$\dfrac {1}{4^k+2}<\dfrac {1}{4^k}$，于是 $$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{4^k+2}<\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{4^k}<\dfrac {\frac 14}{1-\frac 14}=\dfrac 13.$$ 如果右边的常数减少到$\dfrac 14$，即证明 $$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{4^k+2}<\dfrac 14,$$ 则需要从第二项开始，即 $$\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{4^k+2}<\dfrac 16+\sum_{k=2}^n\dfrac{1}{4^k}<\dfrac 16+\dfrac {\frac 1{16}}{1-\frac 14}=\dfrac 14.$$

有时，我们不像上面这么容易地找到等比数列$\{b_n\}$，那什么时候可以考虑等比放缩，又如何寻找数列$\{b_n\}$呢？

如果存在常数$q<1$，使得

$$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}<q,$$ 则有$a_n<a_1\cdot q^{n-1}$（有时也需要从第二项或更后的项开始放缩），此时我们可以构造出一个公比为$q$的等比数列满足要求．

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例题一　求证：$\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac{2}{3^k-1}}<\dfrac 32$．

分析与证明　记$a_n=\dfrac 2{3^n-1}$，则有

$$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}=\dfrac {3^n-1}{3^{n+1}-1}<\dfrac 13.$$ 而$a_1=1$，故$a_n<\left(\dfrac 13\right )^{n-1}$，于是 $$\sum\limits_{k=1}^n{\dfrac{2}{3^k-1}}<\dfrac {1}{1-\frac 13}=\dfrac 32,$$ 命题得证．

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例题二　已知$a_n=\dfrac 3{4^n-3^{n-1}}$，求证：$\sum\limits_{k=1}^n{a_k}<\dfrac {17}{13}$．

分析与证明　先试试直接对通项进行放缩，因为

$$a_n=\dfrac 3{4^n-3^{n-1}}=\dfrac 9{2\cdot 4^n+4^n-3^n}<\dfrac 9{2\cdot 4^n},$$ 所以 $$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1{a_k}<\dfrac 92\sum_{k=1}^n\dfrac 1{4^k}<\dfrac 92\cdot\dfrac {\frac 14}{1-\frac 14}=\dfrac 32.$$ 放缩太多，超过了需要的界．即使从第二项、第三项开始放缩，得到的界仍然大于$\dfrac 43$．

下面考虑寻找一个更小的界，因为

$$\begin{split} \dfrac {a_{n+1}}{a_n}=&\dfrac {4^n-3^{n-1}}{4^{n+1}-3^n}\\=&\dfrac{\left(\frac 43\right )^{n}-\frac 13}{4\cdot\left(\frac 43\right )^n-1}\\=&\dfrac 14-\dfrac 1{12}\cdot\dfrac 1{4\cdot\left(\frac 43\right )^n-1}\\<&\dfrac 14,\end{split}$$ 所以当$n\geqslant 2$时，有 $$a_n\leqslant a_2\cdot\left(\dfrac 14\right )^{n-2}=\dfrac {3}{13}\cdot \left(\dfrac 14\right )^{n-2}.$$ 从而有 $$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1{a_k}<1+\dfrac{\frac{1}{13}}{1-\frac 14}=\dfrac {17}{13}.$$ 注　事实上，在本题中，$n\to+\infty,\dfrac {a_{n+1}}{a_n}\to\dfrac 14$，所以如果通过等比放缩，已知找不到更小的公比了，只能通过调整放缩的起点去使得上界更小．

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最后给出两道练习：

练习一　已知$a_n=4^n-1$，求证：$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1{a_k}<\dfrac 49$．

提示　$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}<\dfrac 14$．

练习二　已知$a_n=3\cdot 2^{n-1}+1$，求证：$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1{a_k}<\dfrac 7{12}$．

提示　直接等比放缩，由

$$\dfrac 1{a_n}<\dfrac 13\cdot\left(\dfrac 12\right )^{n-1},$$ 从第二项开始放缩，即可得到 $$\sum\limits_{k=1}^n\dfrac 1{a_k}<\dfrac 14+\dfrac 13\cdot\sum_{k=2}^n\left(\dfrac 12\right )^{k-1}<\dfrac 14+\dfrac 13\cdot\dfrac {\frac 12}{1-\frac 12}=\dfrac {7}{12}.$$ 也可以通过 $$\dfrac {1/a_{n+1}}{1/a_n}=\dfrac {3\cdot 2^{n-1}+1}{3\cdot 2^n+1}\leqslant \dfrac {1/a_2}{1/a_1}=\dfrac 47$$ 去等比放缩．

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如果求和的数列$\{a_n\}$中，$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}$趋于$1$，通常这样的数列无法考虑等比放缩，此时就需要考虑第二个放缩技巧——裂项放缩，将数列放缩成可以裂项的形式．见下次的每周一招．