在上周那篇我们看到了参数分离带来的好处,但是对于有些问题来说,参数分离无法奏效,比如参数不容易分离出来或者分离参数后的函数很难处理.此时,可以直接去处理含参的函数,为了得到含参函数的最值,往往需要对参数进行分类,去讨论单调性与最值.
例题一 已知f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx,若函数y=f(x)+x在(0,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
分析与解 题意即∀x>0,f′(x)=x−a+a−1x+1⩾0.即∀x>0,x2+(1−a)x+(a−1)⩾0.记g(x)=x2+(1−a)x+(a−1),则∀x>0,g(x)⩾0当且仅当{−1−a2⩽0,g(0)⩾0,∨{−1−a2>0,Δ⩽0,解得1⩽a⩽5.
综上知a∈[1,5].
注 本题也可以通过均值不等式求解,因为∀x>0,x+a−1x⩾a−1,所以a=1显然成立;a<1时不成立;a>1时,当且仅当2√x⋅a−1x=2√a−1⩾a−1.从而求得a的范围.
如果用分离参数法,集中参数得∀x>0,a(x−1)⩽x2+x−1.必须对x<1,x>1分情况讨论,而且还要求一个二次分式函数的值域,计算量偏大.
例题二 已知函数f(x)=alnx−12x2+12,若对于x⩾1,恒有f(x)⩽0,求a的取值范围.
分析与解 分离参数后的函数y=x2−12lnx不容易处理,考虑不分离参数,直接对f(x)求导得f′(x)=a−x2x.考虑到x⩾1,所以对a讨论的分界点为1:
①若a⩽1,则∀x⩾1,f′(x)⩽0,即f(x)在(1,+∞)上单调递减,有f(x)⩽f(1)=0,条件成立,故a⩽1满足条件;
②若a>1,则当x∈(1,√a)时,f′(x)>0,即f(x)在(1,√a)上单调递增,此时f(x)>f(1)=0不符合题意;
综上知a⩽1.
最后给出一道练习:
练习 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,
(1)若a>0,且f′(x)⩾4恒成立,求a的取值范围;
(2)若a<0,且|f′(x)|⩾4恒成立,求a的取值范围.
答案 (1)[1,+∞);(2)(−∞,−2].
提示 f(x)的导函数为f′(x)=a+1x+2ax.
(1)a>0时,题意即∀x>0,a+1x+2ax⩾4,
由均值不等式知当且仅当2√2a(a+1)⩾4,解得a⩾1.
转化成函数即∀x>0,2ax2−4x+(a+1)⩾0.结合对称轴位置知Δ⩽0,解得a⩾1.
(2)a<0时,若a>−1,则f′(x)=2ax2+(a+1)x=0有正解,不符合题意,必有a⩽−1.
此时,f′(x)<0,故∀x>0,f′(x)=a+1x+2ax⩽−4.与(1)中方法类似可得a⩾−2.
本文中的函数都相对简单,直接根据题目条件去讨论没有太大困难,或者像例题二可以一眼看出讨论的分界点.在下一篇中,我们会看看对于一些比较复杂的函数,找不到讨论的分界点,或者直接讨论情况众多时,我们有些什么招.