恒成立问题中的含参不分离

在上周那篇我们看到了参数分离带来的好处,但是对于有些问题来说,参数分离无法奏效,比如参数不容易分离出来或者分离参数后的函数很难处理.此时,可以直接去处理含参的函数,为了得到含参函数的最值,往往需要对参数进行分类,去讨论单调性与最值.

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例题一 已知f(x)=12x2ax+(a1)lnx,若函数y=f(x)+x(0,+)上为增函数,求a的取值范围.

分析与解 题意即x>0,f(x)=xa+a1x+10.x>0,x2+(1a)x+(a1)0.g(x)=x2+(1a)x+(a1),则x>0,g(x)0当且仅当{1a20,g(0)0,{1a2>0,Δ0,解得1a5

综上知a[1,5]

 本题也可以通过均值不等式求解,因为x>0,x+a1xa1,所以a=1显然成立;a<1时不成立;a>1时,当且仅当2xa1x=2a1a1.从而求得a的范围.

如果用分离参数法,集中参数得x>0,a(x1)x2+x1.必须对x<1,x>1分情况讨论,而且还要求一个二次分式函数的值域,计算量偏大.


例题二 已知函数f(x)=alnx12x2+12,若对于x1,恒有f(x)0,求a的取值范围.

分析与解 分离参数后的函数y=x212lnx不容易处理,考虑不分离参数,直接对f(x)求导得f(x)=ax2x.考虑到x1,所以对a讨论的分界点为1

①若a1,则x1,f(x)0,f(x)(1,+)上单调递减,有f(x)f(1)=0,条件成立,故a1满足条件;

②若a>1,则当x(1,a)时,f(x)>0,即f(x)(1,a)上单调递增,此时f(x)>f(1)=0不符合题意;

综上知a1


最后给出一道练习:

练习 已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1

(1)若a>0,且f(x)4恒成立,求a的取值范围;

(2)若a<0,且|f(x)|4恒成立,求a的取值范围.

答案 (1)[1,+);(2)(,2]

提示 f(x)的导函数为f(x)=a+1x+2ax.

(1)a>0时,题意即x>0,a+1x+2ax4,

由均值不等式知当且仅当22a(a+1)4,解得a1

转化成函数即x>0,2ax24x+(a+1)0.结合对称轴位置知Δ0,解得a1

(2)a<0时,若a>1,则f(x)=2ax2+(a+1)x=0有正解,不符合题意,必有a1

 此时,f(x)<0,故x>0,f(x)=a+1x+2ax4.与(1)中方法类似可得a2

本文中的函数都相对简单,直接根据题目条件去讨论没有太大困难,或者像例题二可以一眼看出讨论的分界点.在下一篇中,我们会看看对于一些比较复杂的函数,找不到讨论的分界点,或者直接讨论情况众多时,我们有些什么招.

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