在上周那篇我们看到了参数分离带来的好处，但是对于有些问题来说，参数分离无法奏效，比如参数不容易分离出来或者分离参数后的函数很难处理．此时，可以直接去处理含参的函数，为了得到含参函数的最值，往往需要对参数进行分类，去讨论单调性与最值．
例题一 已知f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx，若函数y=f(x)+x在(0,+∞)上为增函数，求a的取值范围．
分析与解 题意即∀x>0,f′(x)=x−a+a−1x+1⩾即\forall x>0,x^2+(1-a)x+(a-1)\geqslant 0.记g(x)=x^2+(1-a)x+(a-1)，则\forall x>0,g(x)\geqslant 0当且仅当\begin{cases} -\dfrac {1-a}{2}\leqslant 0,\\g(0)\geqslant 0,\end{cases} \lor\begin{cases} -\dfrac {1-a}{2}>0,\\\Delta\leqslant 0,\end{cases} 解得1\leqslant a\leqslant 5．
综上知a\in [1,5]．
注 本题也可以通过均值不等式求解，因为\forall x>0,x+\dfrac {a-1}{x}\geqslant a-1,所以a=1显然成立；a<1时不成立；a>1时，当且仅当2\sqrt{x\cdot\dfrac{a-1}{x}}=2\sqrt{a-1}\geqslant a-1.从而求得a的范围．
如果用分离参数法，集中参数得\forall x>0,a(x-1)\leqslant x^2+x-1.必须对x<1,x>1分情况讨论，而且还要求一个二次分式函数的值域，计算量偏大．
例题二 已知函数f(x)=a\ln x-\dfrac 12x^2+\dfrac 12，若对于x\geqslant 1，恒有f(x)\leqslant 0，求a的取值范围．
分析与解 分离参数后的函数y=\dfrac {x^2-1}{2\ln x}不容易处理，考虑不分离参数，直接对f(x)求导得f'(x)=\dfrac {a-x^2}{x}.考虑到x\geqslant 1，所以对a讨论的分界点为1：
①若a\leqslant 1，则\forall x\geqslant 1,f'(x)\leqslant 0,即f(x)在(1,+\infty)上单调递减，有f(x)\leqslant f(1)=0，条件成立，故a\leqslant 1满足条件；
②若a>1，则当x\in (1,\sqrt a)时，f'(x)>0，即f(x)在(1,\sqrt a)上单调递增，此时f(x)>f(1)=0不符合题意；
综上知a\leqslant 1．
最后给出一道练习：
练习 已知函数f(x)=(a+1)\ln x+ax^2+1，
（1）若a>0，且f'(x)\geqslant 4恒成立，求a的取值范围；
（2）若a<0，且|f'(x)|\geqslant 4恒成立，求a的取值范围．
答案 （1）[1,+\infty)；（2)(-\infty,-2]．
提示 f(x)的导函数为f'(x)=\dfrac {a+1}{x}+2ax.
（1）a>0时，题意即\forall x>0,\dfrac {a+1}{x}+2ax\geqslant 4,
由均值不等式知当且仅当2\sqrt{2a(a+1)}\geqslant 4,解得a\geqslant 1．
转化成函数即\forall x>0,2ax^2-4x+(a+1)\geqslant 0.结合对称轴位置知\Delta \leqslant 0，解得a\geqslant 1．
（2）a<0时，若a>-1，则f'(x)=\dfrac {2ax^2+(a+1)}{x}=0有正解，不符合题意，必有a\leqslant -1．
此时，f'(x)<0，故\forall x>0,f'(x)=\dfrac {a+1}{x}+2ax\leqslant -4.与（1）中方法类似可得a\geqslant -2．
本文中的函数都相对简单，直接根据题目条件去讨论没有太大困难，或者像例题二可以一眼看出讨论的分界点．在下一篇中，我们会看看对于一些比较复杂的函数，找不到讨论的分界点，或者直接讨论情况众多时，我们有些什么招．