恒成立问题中的含参不分离

在上周那篇我们看到了参数分离带来的好处，但是对于有些问题来说，参数分离无法奏效，比如参数不容易分离出来或者分离参数后的函数很难处理．此时，可以直接去处理含参的函数，为了得到含参函数的最值，往往需要对参数进行分类，去讨论单调性与最值．

例题一　已知$f(x)=\dfrac 12x^2-ax+(a-1)\ln x$，若函数$y=f(x)+x$在$(0,+\infty)$上为增函数，求$a$的取值范围．

分析与解　题意即

$$\forall x>0,f'(x)=x-a+\dfrac {a-1}{x}+1\geqslant 0.$$ 即 $$\forall x>0,x^2+(1-a)x+(a-1)\geqslant 0.$$ 记$g(x)=x^2+(1-a)x+(a-1)$，则 $$\forall x>0,g(x)\geqslant 0$$ 当且仅当 $$\begin{cases} -\dfrac {1-a}{2}\leqslant 0,\\g(0)\geqslant 0,\end{cases} \lor\begin{cases} -\dfrac {1-a}{2}>0,\\\Delta\leqslant 0,\end{cases}$$ 解得$1\leqslant a\leqslant 5$．

综上知$a\in [1,5]$．

注　本题也可以通过均值不等式求解，因为

$$\forall x>0,x+\dfrac {a-1}{x}\geqslant a-1,$$ 所以$a=1$显然成立；$a<1$时不成立；$a>1$时，当且仅当 $$2\sqrt{x\cdot\dfrac{a-1}{x}}=2\sqrt{a-1}\geqslant a-1.$$ 从而求得$a$的范围．

如果用分离参数法，集中参数得

$$\forall x>0,a(x-1)\leqslant x^2+x-1.$$ 必须对$x<1,x>1$分情况讨论，而且还要求一个二次分式函数的值域，计算量偏大．

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例题二　已知函数$f(x)=a\ln x-\dfrac 12x^2+\dfrac 12$，若对于$x\geqslant 1$，恒有$f(x)\leqslant 0$，求$a$的取值范围．

分析与解　分离参数后的函数$y=\dfrac {x^2-1}{2\ln x}$不容易处理，考虑不分离参数，直接对$f(x)$求导得

$$f'(x)=\dfrac {a-x^2}{x}.$$ 考虑到$x\geqslant 1$，所以对$a$讨论的分界点为$1$：

①若$a\leqslant 1$，则

$$\forall x\geqslant 1,f'(x)\leqslant 0,$$ 即$f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减，有$f(x)\leqslant f(1)=0$，条件成立，故$a\leqslant 1$满足条件；

②若$a>1$，则当$x\in (1,\sqrt a)$时，$f'(x)>0$，即$f(x)$在$(1,\sqrt a)$上单调递增，此时$f(x)>f(1)=0$不符合题意；

综上知$a\leqslant 1$．

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最后给出一道练习：

练习　已知函数$f(x)=(a+1)\ln x+ax^2+1$，

（1）若$a>0$，且$f'(x)\geqslant 4$恒成立，求$a$的取值范围；

（2）若$a<0$，且$|f'(x)|\geqslant 4$恒成立，求$a$的取值范围．

答案　（1）$[1,+\infty)$；（2)$(-\infty,-2]$．

提示　$f(x)$的导函数为

$$f'(x)=\dfrac {a+1}{x}+2ax.$$

（1）$a>0$时，题意即

$$\forall x>0,\dfrac {a+1}{x}+2ax\geqslant 4,$$

由均值不等式知当且仅当

$$2\sqrt{2a(a+1)}\geqslant 4,$$ 解得$a\geqslant 1$．

转化成函数即

$$\forall x>0,2ax^2-4x+(a+1)\geqslant 0.$$ 结合对称轴位置知$\Delta \leqslant 0$，解得$a\geqslant 1$．

（2）$a<0$时，若$a>-1$，则

$$f'(x)=\dfrac {2ax^2+(a+1)}{x}=0$$ 有正解，不符合题意，必有$a\leqslant -1$．

 此时，$f'(x)<0$，故

$$\forall x>0,f'(x)=\dfrac {a+1}{x}+2ax\leqslant -4.$$ 与（1）中方法类似可得$a\geqslant -2$．

本文中的函数都相对简单，直接根据题目条件去讨论没有太大困难，或者像例题二可以一眼看出讨论的分界点．在下一篇中，我们会看看对于一些比较复杂的函数，找不到讨论的分界点，或者直接讨论情况众多时，我们有些什么招．