裂项求和的三原则

裂项求和法是将需要求和的数列$\{a_n\}$中的每一项拆成两项之差，如

$$a_n=b_{n+1}-b_n,$$ 从而在求$\{a_n\}$的前$n$项和$S_n$时，利用拆项后的中间项相互抵消，剩下首尾的几项，从而得到$S_n$的表达式，即 $$S_n=\sum_{k=1}^n{a_k}=\sum_{k=1}^n(b_{k+1}-b_k)=b_{n+1}-b_1.$$ 我们最常见的裂项形式有：

（1）$n(n+1)=\dfrac 13[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]$；

（2）$\dfrac {1}{n(n+1)}=\dfrac {1}{n}-\dfrac {1}{n+1}$；

$\dfrac 1{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac 12\left(\dfrac 1{2n-1}-\dfrac 1{2n+1}\right )$；

（3）$\dfrac {q^n}{(q^{n-1}+p)(q^n+p)}=\dfrac {q}{q-1}\left(\dfrac 1{q^{n-1}+p}-\dfrac 1{q^n+p}\right )$；

（4）$\dfrac n{(n+1)!}=\dfrac 1{n!}-\dfrac 1{(n+1)!}$；

（5）$\dfrac {1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt n$；

（6）$\sqrt{1+\dfrac 1{n^2}+\dfrac 1{(n+1)^2}}=1+\dfrac 1n-\dfrac 1{n+1}$．

类似这样的裂项的变形形式还有很多，我们很难记得这些裂项的具体形式，那么我们来看看我们可以从这些裂项的形式中得到什么启发呢？

首先，这些裂项形式的左右两边形式一致，左边是分式，右边通常也有分式；左边是根式，右边通常也有根式；

其次，裂项后得到的差对应着某一个数列的相邻的两项（也可能是间隔一项或几项的两项），这样求和时才可以消去；

最后，如果裂项形式是多项式，那么裂项后的次数是原来次数的$+1$，其实对于分式，也可以这样理解，比如在（1）中，左边是二次的，那么右边是两个三次的式子的差；（2）中，左边是$-2$次的，右边是$-1$次的；（5）式中左边是$-\dfrac 12$次的，右边是$\dfrac 12$次的．

我们把这三个原则称为裂项求和的三原则：形式原则（相近）、递推原则（可相消）、次数原则（加一）．

这是裂项的普遍规律（也有不符合规律的特殊情况存在），对于提示我们裂项的方向，和可能的裂项形式非常有帮助．比如要求

$$S=1+3+6+\cdots+\dfrac {n(n+1)}{2}.$$ 对一般项$\dfrac {n(n+1)}{2}$尝试裂项，应该是两个关于$n$的三次多项式相减，为了递推原则，我们考虑到$n(n+1)$上再分别往前与往后乘一项，即分别乘以$n+2$与$n-1$，再配上系数得到 $$\dfrac {n(n+1)}{2}=\dfrac 16[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)].$$ 于是可以求和得到$S=\dfrac 16n(n+1)(n+2)$．

例题一　 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，通项

$$a_n=\dfrac 1{(\sqrt{n-1}+\sqrt n)(\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1})(\sqrt n+\sqrt{n+1})},$$ 求$S_{2016}$．

分析与解　用裂项的三原则分析，裂项后作差的两项有分式有根式，且为$-\dfrac 12$．分母中的三个因式都很容易分母有理化，选择其中一个分母有理化，考虑到递推原则，将形式不同的因式$\sqrt{n-1}+\sqrt{n+1}$进行有理化，即

$$\begin{split} a_n=&\dfrac 12\cdot\dfrac {\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n-1}+\sqrt n)(\sqrt n+\sqrt{n+1})}\\=&\dfrac 12\cdot\dfrac {(\sqrt{n+1}+\sqrt n)-(\sqrt n+\sqrt{n-1})}{(\sqrt{n-1}+\sqrt n)(\sqrt n+\sqrt{n+1})}\\=&\dfrac 12\left(\dfrac 1{\sqrt{n-1}+\sqrt n}-\dfrac 1{\sqrt n+\sqrt{n+1}}\right ).\end{split}$$ 所以 $$S_{2016}=\dfrac 12\left(1-\dfrac {1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2017}}\right )=\dfrac {1+\sqrt{2016}-\sqrt{2017}}{2}.$$

例题二　已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且

$$a_n=\dfrac {3\cdot 2^n}{4^{n+1}-3\cdot 2^{n+1}+2},$$ 求$S_n$．

分析与解　对一般项进行裂项

$$\begin{split} a_n=&\dfrac {3\cdot 2^n}{(2^{n+1}-1)(2^{n+1}-2)}\\=&\dfrac{3\cdot[(2^{n+1}-1)-(2^n-1)]}{2\cdot(2^n-1)(2^{n+1}-1)}\\=&\dfrac 32\left(\dfrac 1{2^n-1}-\dfrac 1{2^{n+1}-1}\right ).\end{split}$$ 于是 $$S_n=\dfrac 32\left(1-\dfrac 1{2^{n+1}-1}\right ).$$

最后给出两道练习：

练习一　数列$\{a_n\}$的通项公式为

$$a_n=\dfrac 1{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt n},$$ 则这个数列的前$99$项的和$S_{99}=$_____．

答案　$\dfrac {9}{10}$．

提示　一般项可裂项为

$$a_n=\dfrac 1{\sqrt n}-\dfrac 1{\sqrt{n+1}}.$$

练习二　数列$\{a_n\}$的通项公式为

$$a_n=\dfrac{2n+1}{n^2(n+1)^2},$$ 则这个数列的前$9$项的和$S_{9}=$_____．

答案　$\dfrac {99}{100}$．

提示　一般项可裂项为

$$\dfrac{2n+1}{n^2(n+1)^2}=\dfrac {(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}=\dfrac {1}{n^2}-\dfrac {1}{(n+1)^2}.$$