恒成立问题中的参数分离

已知某含参的函数不等式恒成立，求参数的取值范围是高中一类常见的问题．对于这类问题的处理，有两种常见的思路：一种是分离参数，再去求分离后得到的不含参函数的最值；另一种是不分离参数，直接去处理这个函数．很多问题两种思路的处理难度上差别不大，也有些问题其中一种思路明显优于另一种思路（甚至只有一种思路可以行得通），需要大家解题时先观察判断，解完题多思考总结．我们今天先来看看适合参数分离的问题．比如：

已知不等式$x\ln x\geqslant kx-1$恒成立，求$k$的取值范围．

在这个问题中，$k$很容易分离出来，即 $$\forall x>0,k\leqslant \ln x+\dfrac 1x.$$ 而这个不等式恒成立当且仅当$k$不大于右边函数的最小值．

而右边的函数$f(x)=\ln x+\dfrac 1x$的最小值容易求：对$f(x)$求导得 $$f'(x)=\dfrac {x-1}{x^2},$$ 故$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增，从而 $$\min\{f(x)\}=f(1)=1,$$ 所以$k\leqslant 1$．

在有些问题中右边的函数因为定义域不包含边界，所以取不到对应的最值，只有一个上确界或下确界（注：上下确界是指无限接近，永远取不到，比如$y=\dfrac 1x,x>0$有下确界$0$），此时可以在构造函数时把边界添上，方便书写．如下面的例题：

例题一　已知函数$f(x)={\mathrm e}^x+ax-1$，若$f(x)\geqslant x^2$在$(0,1)$上恒成立，求$a$的取值范围．

分析与解　题中条件等价于 $$\forall x\in(0,1),a\geqslant \dfrac {x^2+1-{\mathrm e}^x}{x}.$$ 记右侧对应的函数为 $$g(x)=\dfrac {x^2+1-{\mathrm e}^x}{x},x\in [0,1],$$ 则$a\geqslant \max\{g(x)\}$．对$g(x)$求导得 $$g'(x)=\dfrac {(x-1)(x+1-{\mathrm e}^x)}{x^2}.$$ 易知 $$\forall x\ne 0,x+1-{\mathrm e}^x<0.$$ 所以$g'(x)\geqslant 0$，$g(x)$在$(0,1)$上单调递增，故 $$\max\{g(x)\}=g(1)=2-{\mathrm e},$$ 从而有$a\geqslant 2-{\mathrm e}$．

有些问题不能直接进行参数分离，但经过一些处理后，将参数独立出来就可以分离了，比如下面的问题：

例题二　已知函数$f(x)=\ln\left(x+\dfrac 1a\right )-ax$，若不等式$f(x)<ax$恒成立，求实数$a$的取值范围．

分析与解　题中条件即不等式$\ln\left(x+\dfrac 1a\right )<2ax$恒成立，这里参数$a$在两个地方出现，我们进行换元，令$t=x+\dfrac 1a$，则条件转化为 $$\forall t>0,\ln t<2at-2.$$ 现在可以分离参数$a$，得到 $$\forall t>0,a>\dfrac {\ln t+2}{2t}.$$ 记$g(t)=\dfrac {\ln t+2}{2t}$，则 $$g'(t)=-\dfrac {\ln t+1}{2t^2},$$ 所以$g(t)$在$\left(0,\dfrac 1{\mathrm e}\right )$上单调递增，在$\left(\dfrac {1}{\mathrm e},+\infty\right )$上单调递减，所以 $$\max\{g(t)\}=g\left(\dfrac 1{\mathrm e}\right )=\dfrac {\mathrm e}{2},$$ 所以$a>\dfrac {\mathrm e}{2}$．

最后给出两道练习：

练习一　已知${\mathrm e}^{2x+1}-ax\geqslant 0$对$x\in[0,1]$恒成立，求$a$的取值范围．

答案　$a\leqslant 2{\mathrm e}^2$．

练习二　已知函数$f(x)=\ln x+\dfrac mx-x$在定义域上单调递减，求$m$的取值范围．

答案　$m\geqslant \dfrac 14$．

提示　题意即 $$\forall x>0,f'(x)=\dfrac 1x-\dfrac m{x^2}-1\leqslant 0.$$