数列求和的待定系数裂项法

裂项求和是数列求和的一种重要方法．但由于对等差数列求和的倒序相加法和对等比数列（差比数列）的错位相减法的深（根）入（深）人（蒂）心（固），会很容易忽略裂项求和也可以应用于这些基本数列的求和．特别是用在差比数列求和问题上，可以大大地简化运算．

比如对于等差数列来说，求

$$2+5+8+\cdots+3n-1.$$  对通项进行裂项： $$3n-1=(an^2+bn)-\left[a(n-1)^2+b(n-1)\right]=2an-a+b,$$ 其中$a,b$为待定系数． 易得 $$a=\frac 32,b=\frac 12.$$ 于是 $$2+5+8+\cdots+3n-1=\frac 32n^2+\frac 12n.$$

对于等比数列来说，求

$$3+3^2+3^3+\cdots+3^n.$$  对通项进行裂项 $$3^n=a\cdot 3^n-a\cdot 3^{n-1}=\frac{2a}3\cdot 3^n,$$ 其中$a$为待定系数． 易得 $$a=\frac 32.$$ 于是 $$3+3^2+3^3+\cdots+3^n=\frac 32\cdot 3^n-\frac 32.$$

下面我们来看这个方法用在差比数列求和上的功力：

 例题一　求和

$$1\cdot 2+3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+\cdots+(2n-1)\cdot 2^n.$$  分析与解　对通项进行裂项 $$\begin{split}(2n-1)\cdot 2^n&=(an+b)\cdot 2^n-\left[a(n-1)+b\right]\cdot 2^{n-1}\\&=\left(\frac a2\cdot n+\frac{a}2+\frac{b}2\right)\cdot 2^n,\end{split}$$ 其中$a,b$为待定系数． 易得 $$a=4,b=-6.$$ 于是 $$1\cdot 2+3\cdot 2^2+5\cdot 2^3+\cdots+(2n-1)\cdot 2^n=(4n-6)\cdot 2^n+6.$$

---

 例题二　求和

$$1\cdot 2+2^2\cdot 2^2+3^2\cdot 2^3+\cdots+n^2\cdot 2^n.$$  分析与解　对通项进行裂项 $$\begin{split}n^2\cdot 2^n&=(an^2+bn+c)\cdot 2^n-\left[a(n-1)^2+b(n-1)+c\right]\cdot 2^{n-1}\\&=\left[\frac a2\cdot n^2+\left(a+\frac b2\right)n-\frac a2+\frac b2+\frac c2\right]\cdot 2^n,\end{split}$$ 其中$a,b,c$为待定系数． 易得 $$a=2,b=-4,c=6.$$ 于是 $$1\cdot 2+2^2\cdot 2^2+3^2\cdot 2^3+\cdots+n^2\cdot 2^n=(2n^2-4n+6)\cdot 2^n-6.$$

---

综上所述，用待定系数裂项法求差比数列（甚至是高阶差比数列）的前$n$项和非常简便，尤其是算完待定系数之后无需整理，但关键是能估计出求和后的形式，用待定系数法进行裂项．

最后给出一道练习：

求和

$$1\cdot \dfrac 12+2\cdot \dfrac 14+3\cdot\dfrac 18+\cdots+n\cdot\dfrac {1}{2^n}.$$ 答案　$2-\dfrac {n+2}{2^n}$．

提示　对通项裂项为

$$n\cdot\dfrac1{2^n}=(-n-2)\cdot\dfrac {1}{2^n}-[-(n-1)-2]\cdot\dfrac {1}{2^{n-1}}.$$