一类分式函数的最值求法

我们知道，对于下面的问题：

已知$\dfrac {x^2}4-y^2=1$，求$3x^2-2xy$的最小值．

我们可以令$m=\dfrac x2+y$，$n=\dfrac x2-y$，则 $$x=m+n,y=\dfrac{m-n}2,$$ 于是 $$3x^2-2xy=3(m+n)^2-2\cdot (m+n)\cdot \dfrac{m-n}2=2m^2+4n^2+6mn,$$ 进而 $$3x^2-2xy=\dfrac{2m^2+4n^2+6mn}{mn}=6+\dfrac{2m}{n}+\dfrac{4n}{m}\geqslant 6+4\sqrt 2,$$ 等号当$m=\sqrt 2n$时取得，因此所求最小值为$6+4\sqrt 2$．

对于如下的一次分式和函数 $$f(x)=\dfrac{a_1x+b_1}{c_1x+d_1}+\dfrac{a_2x+b_2}{c_2x+d_2}(c_1,d_1,c_2,d_2,x>0),$$ 通常采用通分后化为二次分式函数处理．当我们仅需求其最值时，可以考虑用如下的换元 $$c_1x+d_1=m,c_2x+d_2=n,$$ 解得 $$x=\dfrac{d_2m-d_1n}{d_2c_1-d_1c_2},1=\dfrac{c_2m-c_1n}{c_2d_1-c_1d_2},$$ 于是可以将$f(x)$转化为 $$\lambda \dfrac nm+\mu \dfrac mn+\gamma$$ 的形式，此时可以利用均值不等式求其最值．

下面我们利用这一方法求$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{x}{x+2}$($x>0$)的最小值．

首先令$m=x+1$，$n=x+2$，则 $$x=2m-n,1=n-m,$$ 于是原代数式为 $$\dfrac{n-m}m+\dfrac{2m-n}{n}=\dfrac nm+2\cdot\dfrac mn-2\geqslant 2\sqrt 2-2,$$ 等号当$n=\sqrt 2m$，也即$x+2=\sqrt 2(x+1)$时取得，因此所求最小值为$2\sqrt 2-2$．

更进一步，我们可以利用这一方法求分母可分解的二次分式函数的最值．此时可以采用相同的策略将其化为齐次式．

如求$\dfrac{x^2+5x+3}{x^2+3x+2}$($x>0$)的最大值，令$m=x+1$，$n=x+2$，则 $$\begin{split} \dfrac{x^2+5x+3}{x^2+3x+2}&=\dfrac{2x+1}{x^2+3x+2}+1\\ &=\dfrac{2(2m-n)+(n-m)}{mn}+1\\ &=\dfrac{3m-n}{mn}+1 \\ &=\dfrac{(3m-n)(n-m)}{mn}+1\\ &=5-\left(3\cdot\dfrac mn+\dfrac nm\right) \\ &\leqslant 5-2\sqrt 3,\end{split}$$ 等号当$n=\sqrt 3m$，也即$x+2=\sqrt 3(x+1)$时取得，因此所求最小值为$5-2\sqrt 3$．