任意四面体的外接球半径公式

若四面体ABCD中,CAD=αCBD=β,二面角ACDB的大小为θCD=2m,则其外接球半径R=msinαsinβsinθ1(cosαcosβ+sinαsinβcosθ)2.


证明    如图,设O为四面体ABCD的外接球球心,MCD的中点,O在平面ACD,BCD上的投影分别为P,Q,连接OP,OQ,MP,MQ

latex-image-2

显然,P,Q分别是ACDBCD的外心,于是PMCDQMCDPMQ是二面角ACDB的平面角.由于OC=OD,于是OMCD,进而O,P,M,Q四点共面,且有PM=mcotα,QM=mcotβ,PMQ=θ.

latex-image-1

如图,延长QO,MP交于点T,则由OPQM=TPTQ

可得OP=msinθ(cotαcotβcosθ),
PC=msinα,
因此由R2=OC2=OP2+PC2,
代入OP,PC的值,整理可得R=msinαsinβsinθ1(cosαcosβ+sinαsinβcosθ)2.

此条目发表在方法技巧分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

任意四面体的外接球半径公式》有2条回应

发表回复