若四面体ABCD中,∠CAD=α,∠CBD=β,二面角A−CD−B的大小为θ,CD=2m,则其外接球半径R=msinαsinβsinθ⋅√1−(cosαcosβ+sinαsinβcosθ)2.
证明 如图,设O为四面体ABCD的外接球球心,M为CD的中点,O在平面ACD,BCD上的投影分别为P,Q,连接OP,OQ,MP,MQ.
显然,P,Q分别是△ACD和△BCD的外心,于是PM⊥CD,QM⊥CD,∠PMQ是二面角A−CD−B的平面角.由于OC=OD,于是OM⊥CD,进而O,P,M,Q四点共面,且有PM=mcotα,QM=mcotβ,∠PMQ=θ.
如图,延长QO,MP交于点T,则由OPQM=TPTQ
可得OP=msinθ⋅(cotα−cotβ⋅cosθ),
又PC=msinα,
因此由R2=OC2=OP2+PC2,
代入OP,PC的值,整理可得R=msinαsinβsinθ⋅√1−(cosαcosβ+sinαsinβcosθ)2.
牛批
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