阿波罗尼斯圆的应用

我们知道，平面上到两个定点的距离之比为定值$\lambda$($\lambda>0$且$\lambda\neq 1$)的点的轨迹是圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆．当两个定点$A$和$A'$已知时，可以先在直线$AA'$上找到两点$M,N$，使得

$$\dfrac{MA}{MA'}=\dfrac{NA}{NA'}=\lambda,$$ 然后作以$MN$为直径的圆，即得对应的阿波罗尼斯圆，如图．

反过来，如果已知其中一个定点$A$，以及动点$P$对应的阿波罗尼斯圆，也可以确定另一个定点$A'$的位置．如图，设阿波罗尼斯圆的圆心为$O$，半径为$r$，$OA=d$，$OA'=d'$，则有

$$\dfrac{d-r}{r-d'}=\dfrac{d+r}{r+d'}=\lambda,$$ 其中$\lambda=\dfrac{PA}{PA'}$．容易解得 $$\lambda=\dfrac dr=\dfrac r{d'},$$ 也就是说$r$是$d$和$d'$的等比中项，且公比为$\lambda$．

上述结论形式优美，容易记忆，在很多问题中可以方便的解决问题．

例一    已知$P$点在边长为$2$的正方形$ABCD$的内切圆上运动，则$AP+\sqrt 2BP$的最小值是_______．

分析与解    尝试应用阿波罗尼斯圆处理系数．连接对角线$AC$，设其中点为$O$，则可知在此问题中$r=1$，$d=\sqrt 2$，于是$d'=\dfrac{\sqrt 2}2$，且$\lambda =\sqrt 2$．

因此

$$AP+\sqrt 2BP=\sqrt 2\cdot (A'P+BP)\geqslant \sqrt 2\cdot A'B,$$ 而在三角形$OA'B$中应用勾股定理可得 $$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2}=\sqrt{\dfrac 52},$$ 因此所求的最小值为$\sqrt 5$．

例二    已知$P$在边长为$2$的正三角形$ABC$的内切圆上运动，则$AP+2PB$的最小值是_______．

分析与解    与例一类似，$r=\dfrac{\sqrt 3}3$，$d=\dfrac{2\sqrt 3}3$，于是$d'=\dfrac {\sqrt 3}{6}$，且$\lambda =2$．

因此

$$AP+2PB=2\cdot (A'P+BP)\geqslant 2\cdot A'B,$$ 而在三角形$OA'B$中应用余弦定理可得 $$A'B=\sqrt{OA'^2+OB^2+OA'\cdot OB}=\dfrac{\sqrt {7}}{2},$$ 因此所求的最小值为$\sqrt 7$．

作为练习，请读者们就下面的已知条件命题：

已知点$P$在圆$O:x^2+y^2=4$上运动，$A(4,0)$，$B(4,4)$，求_______的最小值．

答案是$PA+2PB$或$2\sqrt 2PA+PB$．