仿射变换（一）—什么是仿射变换

在解析几何中，圆有很多很好的几何性质，比如圆中有垂径定理，可以很好地处理与弦长或者面积相关的问题．椭圆的标准方程\[\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1\]在形式上接近圆的标准方程\[x^2+y^2=r^2,\]我们可以通过仿射变换将椭圆变成圆，再利用圆的良好的几何性质解决问题．我们先来看看什么叫仿射变换？ 仿射变换是一种二维坐标到二维坐标的线性变换，变换保持二维图形间的相对位置关系不发生变化：平行线还是平行线、直线还是直线、并且同一条直线上的点的位置顺序和长度的比例关系不变．但向量的夹角可能会发现变化，垂直关系可能会发生变化． 仿射变换可以通过一系列的基本变换的复合来实现，这些基本的变换包括平移、缩放、旋转、翻转和错切，如图： 对于椭圆的标准方程\(\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1\)，我们在\(y\)轴上进行伸缩变换\[\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac{b}{a}y',\end{cases} \]从而得到圆的方程\[x'^2+y'^2=a^2.\]此时椭圆上的点\(P(x_0,y_0)\)经过变换变成点\(P'\left(x_0,\dfrac {a}{b}y_0\right )\)，即所有点经过变换后横坐标不变，纵坐标变成原来的\(\dfrac ab\)．从而在原坐标系中一条斜率为\(k=\dfrac {\Delta y}{\Delta x}\)的直线，在新的坐标系中的斜率\[k'=\dfrac {\Delta y'}{\Delta x'}=\dfrac ab\cdot k.\]

下面我们用一道高考题来感受一下仿射变换： 2010年高考数学上海卷理科第23题（解答压轴题）： 已知椭圆\(\Gamma\)的方程为\(\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)，点\(P\)的坐标为\((-a,b)\)． （１）若直角坐标平面上的点\(M,A(0,-b),B(a,0)\)满足\(\overrightarrow {PM}=\dfrac 12\left(\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {PB}\right )\)，求点\(M\)的坐标； （２）设直线\(l_1:y=k_1x+p\)交椭圆\(\Gamma\)于\(C,D\)两点，交直线\(l_2:y=k_2x\)于点\(E\)．若\(k_1k_2=-\dfrac {b^2}{a^2}\)，证明：\(E\)是\(CD\)的中点； （３）对于椭圆\(\Gamma\)上的点\(Q(a\cos\theta,b\sin\theta)(0<\theta<\pi)\)，如果椭圆\(\Gamma\)上存在不同的两点\(P_1,P_2\)使\(\overrightarrow {PP_1}+\overrightarrow {PP_2}=\overrightarrow {PQ}\)，写出求作点\(P_1,P_2\) 的步骤，并求出使\(P_1,P_2\)存在的\(\theta\)的取值范围．

解　在第（1）问中，由向量的知识知\(M\)为\(AB\)的中点，所以\(M\)的坐标为\(\left(\dfrac a2,-\dfrac b2\right )\)； （2）　作仿射变换\[\begin{cases} x=x',\\y=\dfrac{b}{a}y',\end{cases} \]将椭圆的方程变成圆的方程\[x'^2+y'^2=a^2.\] 对于（2），有\[k_1'\cdot k_2'=\dfrac {a}{b}k_1\cdot\dfrac{a}{b}k_2=-1.\]所以\[C'D'\perp O'E',\]根据垂径定理，\(E'\)是弦\(C'D'\)的中点，于是\(E\)是\(CD\)的中点． 对于（3），分析条件\[\overrightarrow {PP_1}+\overrightarrow {PP_2}=\overrightarrow {PQ}.\]这表示要在椭圆上作出两点\(P_1,P_2\)，使得线段\(P_1P_2\)与\(PQ\)互相平分，这在椭圆上想做到并不容易．但在圆上因为有垂径定理，所以会容易很多，于是我们通过仿射变换变成圆之后找到对应的\(P'_1,P_2'\)，再对应回来即可． 作图步骤如下： 1．以\(O\)为圆心，椭圆的长半轴长\(a\)为半径为圆； 2．过\(O\)作射线，使\(Ox\)轴正方向到该射线的角为\(\theta\)，射线交圆于\(Q'\)； 3．过圆与\(y\)轴正向的交点作\(y\)轴的垂线，过圆与\(x\)轴负向的交点作\(x\)轴的垂线，两条垂线交于点\(P'\)； 4．连结\(P'Q'\)，取其中点\(M'\)； 5．连结\(OM'\)，过\(M'\)作与\(OM'\)垂直的直线，交圆于\(P'_1,P_2'\)； 6．过点\(P'_1,P_2'\)作\(x\)轴的垂线，交椭圆于\(x\)轴上方的点\(P_1,P_2\)． 因为\(M'\)是\(P'Q'\)与\(P'_1,P'_2\)的中点，所以\(M\)为\(PQ\)与\(P_1P_2\)的中点，故\(P_1,P_2\)即为所求． 下面我们来求\(\theta\)的范围． 根据作图步骤，我们知道要想作出\(P_1,P_2\)，需要点\(M'\)在圆内，\(M'\)为\(P'(-a,a)\)与\(Q'(a\cos\theta,a\sin\theta)\)的中点，于是有\[\left(\dfrac {-a+a\cos\theta}{2}\right)^2+\left(\dfrac{a+a\sin\theta}{2}\right)^2<a^2\]化简得\[\sin\left(\theta-\dfrac {\pi}{4}\right)<\dfrac {\sqrt 2}{4},\]于是得到\(\theta\)的取值范围为\[\left(0,\dfrac {\pi}{4}+\arcsin{\dfrac {\sqrt 2}{4}}\right).\]

最后我们给出一道练习： （2012高考湖南数学理科第21题）设\(A\)是单位圆\(x^2+y^2=1\)上的任意一点，\(l\)是过点\(A\)与\(x\)轴垂直的直线，\(D\)是直线\(l\)与\(x\)轴的交点，点\(M\)在直线\(l\)上，且满足\(\left|DM\right|=m\left|DA\right |\)，其中\(m>0\)，且\(m\ne 1\)．当点\(A\)在圆上运动时，记点\(M\)的轨迹为曲线\(C\)．求曲线\(C\)的方程，判断曲线\(C\)是何种圆锥曲线，并求焦点坐标． 答案　曲线\(C\)的方程为\(x^2+\dfrac {y^2}{m^2}=1\)． 当\(0<m<1\)时，曲线\(C\)为焦点在\(x\)轴上的椭圆，焦点坐标为\(\left(\pm\sqrt{1-m^2},0\right)\)； 当\(m>1\)时，曲线\(C\)为焦点在\(y\)轴上的椭圆，焦点坐标为\(\left(0,\pm\sqrt{m^2-1}\right)\)．