求数列通项的不动点法

求数列的通项的基本方法有累加法和累乘法，等差数列与等比数列的通项公式就分别由累加法与累乘法对应得到的．对于一般的递推公式，如果可以通过适当的代数变形转化成可以使用累加法与累乘法的递推形式，则问题就得到的解决，不动点法就提供了这样的一个转化的方向． 先从一种简单的情形入手：

例1    若$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n-2$，$n\in\mathcal{N}^*$，求$a_n$．

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分析　$f(x)=3x-2$是一个一次函数，对于正比例函数的情形我们可以通过累乘法转化（即等比数列），于是我们令

$$a_{n+1}-\lambda=3(a_n-\lambda)，$$ 与递推公式对照得到$\lambda=1$，从而得到可以累乘的形式 $$a_{n+1}-1=3(a_n-1).$$ 事实上，这里的$\lambda$就是递推公式对应的函数$f(x)=3x-2$的不动点，即$x=3x-2$的根． 对于由递推公式$a_{n+1}=f(a_n)$给出的数列，我们称$x=f(x)$的解为此数列的不动点．若$\alpha$为数列的不动点，有$\alpha=f(\alpha)$，则 $$a_{n+1}-\alpha=f(a_n)-f(\alpha),$$ 而$f(a_n)-f(\alpha)$中有因式$a_n-\alpha$．从而递推公式可以整理为 $$\dfrac{a_{n+1}-\alpha}{a_n-\alpha}=g(a_n)$$ 的形式．若$g(a_n)$为常数或者与$a_n$无关，则由累乘法问题已经得到解决．比如若递推公式为$a_{n+1}=pa_n+q$，（$p,q\in\mathcal{R}$），则$g(a_n)$为常数，就是前面的情形．

下面我们来看更复杂的情形，对于递推公式为

$$a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s},p,q,r,s\in\mathcal{R},$$ 如何求数列的通项公式，给出具体的递推公式为例：

例2    若$a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+1}{a_n+3}$，$n\in\mathcal{N}^*$，求$a_n$．

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解　考虑递推公式对应的不动点，令

$$x=\dfrac{3x+1}{x+3},$$ 解得$x=\pm 1$． 于是有 $$a_{n+1}+1=\dfrac{4(a_n+1)}{a_n+3},$$ 两边取倒数化简得 $$\dfrac{1}{a_{n+1}+1}=\dfrac 14+\dfrac 12\cdot\dfrac {1}{a_n+1}.$$ 记$b_n=\dfrac {1}{a_n+1}$得到 $$b_{n+1}=\dfrac 12b_n+\dfrac 14.$$ 于是就转化成前面的讲过的情形了． 事实上，如果递推公式对应的不动点有两个，则可以通过不动点得到两个式子 $$\begin{split}a_{n+1}+1=\dfrac{4(a_n+1)}{a_n+3},\\a_{n+1}-1=\dfrac{2(a_n-1)}{a_n+3}. \end{split}$$ 两式两边分别相除得 $$\dfrac {a_{n+1}+1}{a_{n+1}-1}=2\cdot \dfrac{a_n+1}{a_n-1}.$$ 于是得到 $$\dfrac{a_n+1}{a_n-1}=3\cdot 2^{n-1},$$ 解得 $$a_n=\dfrac {3\cdot 2^{n-1}+1}{3\cdot 2^{n-1}-1}.$$

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在本题中$g(a_n)$是与$a_n$相关的式子，无法直接累加累乘，但求倒数后就可以进一步整理，找到转化的方向．若特征根有两个，通过两式相除可以直接将$a_n$消去，得到一个等比数列．不管是哪种处理方式，寻找不动点都是一个很好的递推公式的整理方向，引导我们去一步步进行代数变形，将一个未知的问题转化成我们已经解决的问题． 除了这些情形之外，如果递推公式的形式为

$$a_{n+1}=\dfrac {pa_n^2+q}{ra_n+s},r,s\in\mathcal{R},$$ 也可以尝试不动点法求数列的通项公式，大家可以自行尝试．

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最后给出一些练习题．

1．若$a_1=3$，$a_{n+1}=\dfrac {4a_n-2}{a_n+1}$，求$a_n$．

2．若$a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac{3a_n-1}{a_n+1}$，求$a_n$.

3．若$a_1=2$，$a_{n+1}=\dfrac {a_n^2+2}{2a_n+1}$，求$a_n$．

4．（2011全国高考大纲卷理科第22题）函数$f(x)=x^2-2x-3$，定义数列$\{x_n\}$如下：$x_1=2$，$x_{n+1}$是过两点$P(4,5)$，$Q_{n}(x_n,f(x_n))$的直线$PQ_n$与$x$轴交点的横坐标．

（1）证明：$2\leqslant x_n<x_{n+1}<3$；

（2）求数列$\{x_n\}$的通项公式．

5.（2010东城高考一模理科第20题）已知数列$\{x_n\}$满足$x_1=4$，$x_{n+1}=\dfrac{x_n^2-3}{2x_n-4}$．

（1）求证：$x_n>3$；

（2）求证：$x_{n+1}<x_n$；

（3）求数列$\{x_n\}$的通项公式．

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参考答案

1．$a_n=\dfrac {2\cdot 3^{n-1}-2^{n-2}}{3^{n-1}-2^{n-2}}$．

2．$a_n=\dfrac {n+3}{n+1}$．

3．$a_n=\dfrac {2^{2^n}+2}{2^{2^n}-1}$．

4.（1）略；（2）$x_n=\dfrac {9\cdot 5^{n-1}-1}{3\cdot 5^{n-1}+1}$．

5.（1）（2）略；（3）$x_n=\dfrac {3^{2^{n-1}+1}-1}{3^{2^{n-1}}-1}$．

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注　由递推公式求数列通项公式的倒数法是不动点法的一种特殊情形．倒数法中，$0$恰为数列的一个不动点．