题拍拍征解问题[1]（已解决）

『2543394』已知 $x,y,z\in (0,1)$，且 $xy+yz+zx=1$，求证：

$$\dfrac{1-x}{1+x^2}+\dfrac{1-y}{1+y^2}+\dfrac{1-z}{1+z^2}\geqslant \dfrac{9-3\sqrt 3}4.$$

下面解法由 louxin2020 提供．

不妨设 $x=\tan\dfrac A2$，$y=\tan \dfrac B2$，$z=\tan\dfrac C2$，其中 $A,B,C$ 为某锐角三角形的三个内角，则

$$\begin{split}\dfrac{1-x}{1+x^2}&=\dfrac{1-\tan\dfrac A2}{1+\tan^2\dfrac A2}\\ &=\cos^2\dfrac A2-\sin\dfrac A2\cos\dfrac A2\\ &=\dfrac{1+\cos A}2-\dfrac12\sin A,\\ &=\dfrac 12+\dfrac12(\cos A-\sin A),\end{split}$$ 因此只需要证明 $$\sum_{\rm cyc}(\cos A-\sin A)\geqslant \dfrac{3-3\sqrt 3}{2}.$$ 不妨设 $A\leqslant B\leqslant C$，则 $0<A\leqslant \dfrac{\pi}3\leqslant C<\dfrac{\pi}2$，此时 $$\dfrac{\pi}2<A+B\leqslant 2B,\quad \dfrac{\pi}4\leqslant B<\dfrac{\pi}2.$$

设 $f(x)=\cos x-\sin x$，则当 $A\geqslant \dfrac{\pi}4$ 时，由于 $f(x)$ 在 $\left[\dfrac{\pi}4,\dfrac{\pi}2\right)$ 上下凸，因此根据琴生不等式，有

$$\sum_{\rm cyc}(\cos A-\sin A)=f(A)+f(B)+f(C)\geqslant 3\cdot f\left(\dfrac{A+B+C}3\right)=\dfrac{3-3\sqrt 3}2,$$ 命题成立．

当 $0<A<\dfrac{\pi}4$ 时，有

$$\begin{split} \sum_{\rm cyc}(\cos A-\sin A)&=-\sqrt 2\sin\left(A-\dfrac{\pi}4\right)+2\cos\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2-2\sin\dfrac{B+C}2\cos\dfrac{B-C}2\\ &=-\sqrt 2\sin\left(A-\dfrac{\pi}4\right)+2\sqrt 2\cos\dfrac{B-C}2\sin\left(\dfrac A2-\dfrac{\pi}4\right)\\ &\geqslant -\sqrt 2\sin\left(A-\dfrac{\pi}4\right)+2\sqrt 2\sin\left(\dfrac A2-\dfrac{\pi}4\right),\end{split}$$ 设函数 $g(x)=-\sqrt 2\sin\left(x-\dfrac{\pi}4\right)+2\sqrt 2\sin\left(\dfrac x2-\dfrac{\pi}4\right)$，$x\in\left(0,\dfrac{\pi}4\right)$，则其导函数 $$\begin{split} g'(x)&=-\sqrt 2\cos\left(x-\dfrac{\pi}4\right)+\sqrt 2\cos\left(\dfrac x2-\dfrac{\pi}4\right)\\ &=2\sqrt 2\sin\dfrac x4\sin\left(\dfrac{3x}4-\dfrac{\pi}4\right)\\ &<0,\end{split}$$ 因此有 $$\sum_{\rm cyc}(\cos A-\sin A)> g\left(\dfrac{\pi}4\right)=-2\sqrt 2\sin\dfrac{\pi}8=-\sqrt{4-2\sqrt 2}>\dfrac{3-3\sqrt 3}2,$$ 因此原命题得证．

综上所述，原不等式得证．