题拍拍征解问题[1](已解决)

『2543394』已知 x,y,z(0,1),且 xy+yz+zx=1,求证:1x1+x2+1y1+y2+1z1+z29334.

下面解法由 louxin2020 提供.

不妨设 x=tanA2y=tanB2z=tanC2,其中 A,B,C 为某锐角三角形的三个内角,则1x1+x2=1tanA21+tan2A2=cos2A2sinA2cosA2=1+cosA212sinA,=12+12(cosAsinA),因此只需要证明cyc(cosAsinA)3332. 不妨设 ABC,则 0<Aπ3C<π2,此时π2<A+B2B,π4B<π2.

f(x)=cosxsinx,则当 Aπ4 时,由于 f(x)[π4,π2) 上下凸,因此根据琴生不等式,有cyc(cosAsinA)=f(A)+f(B)+f(C)3f(A+B+C3)=3332,命题成立.

0<A<π4 时,有cyc(cosAsinA)=2sin(Aπ4)+2cosB+C2cosBC22sinB+C2cosBC2=2sin(Aπ4)+22cosBC2sin(A2π4)2sin(Aπ4)+22sin(A2π4),设函数 g(x)=2sin(xπ4)+22sin(x2π4)x(0,π4),则其导函数g(x)=2cos(xπ4)+2cos(x2π4)=22sinx4sin(3x4π4)<0,因此有cyc(cosAsinA)>g(π4)=22sinπ8=422>3332,因此原命题得证.

综上所述,原不等式得证.

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