『2543394』已知 x,y,z∈(0,1),且 xy+yz+zx=1,求证:1−x1+x2+1−y1+y2+1−z1+z2⩾9−3√34.
下面解法由 louxin2020 提供.
不妨设 x=tanA2,y=tanB2,z=tanC2,其中 A,B,C 为某锐角三角形的三个内角,则1−x1+x2=1−tanA21+tan2A2=cos2A2−sinA2cosA2=1+cosA2−12sinA,=12+12(cosA−sinA),因此只需要证明∑cyc(cosA−sinA)⩾3−3√32. 不妨设 A⩽B⩽C,则 0<A⩽π3⩽C<π2,此时π2<A+B⩽2B,π4⩽B<π2.
设 f(x)=cosx−sinx,则当 A⩾π4 时,由于 f(x) 在 [π4,π2) 上下凸,因此根据琴生不等式,有∑cyc(cosA−sinA)=f(A)+f(B)+f(C)⩾3⋅f(A+B+C3)=3−3√32,命题成立.
当 0<A<π4 时,有∑cyc(cosA−sinA)=−√2sin(A−π4)+2cosB+C2cosB−C2−2sinB+C2cosB−C2=−√2sin(A−π4)+2√2cosB−C2sin(A2−π4)⩾−√2sin(A−π4)+2√2sin(A2−π4),设函数 g(x)=−√2sin(x−π4)+2√2sin(x2−π4),x∈(0,π4),则其导函数g′(x)=−√2cos(x−π4)+√2cos(x2−π4)=2√2sinx4sin(3x4−π4)<0,因此有∑cyc(cosA−sinA)>g(π4)=−2√2sinπ8=−√4−2√2>3−3√32,因此原命题得证.
综上所述,原不等式得证.