在长方形 $ABCD$ 中，$AB=8$，$AD=6$，点 $E,F$ 分别为边 $BC$ 和 $CD$ 上两个动点（含端点），且 $EF=5$，设 $\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=\mu\overrightarrow{DC}$，则（ ）
A．$\dfrac 1 6\leqslant\lambda\leqslant 1$，$\dfrac 3 8\leqslant\mu\leqslant 1$
B．$\lambda+\mu$ 为定值
C．$\overline{AE}\cdot\overrightarrow{AF}$ 的最小值 $50$
D．$\left|\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right|$ 的最大值为 $\sqrt{265}$
正三棱锥 $P-ABC$ 和正三棱锥 $Q-ABC$ 共底面 $ABC$，这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上，点 $P$ 和点 $Q$ 在平面 $ABC$ 的异侧，这两个正三棱锥的侧面与底面 $ABC$ 所成的角分别为 $\alpha,\beta$，则当 $\alpha+\beta$ 最大时，$\tan (\alpha+\beta)=$ （ ）
A．$-\dfrac 1 3$
B．$-\dfrac 2 3$
C．$-1$
D．$-\dfrac 4 3$
羽毛球比赛水平相当的甲，乙，丙三人举行羽毛球比赛．规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判．每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判．如果第 $1$ 局甲担任裁判，则第 $3$ 局甲还担任裁判的概率为（ ）
A．$\dfrac 1 4$
B．$\dfrac 1 3$
C．$\dfrac 1 2$
D．$\dfrac 2 3$
在 $\triangle ABC$ 中，$\tan A=3$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=0$．
1、求 $\tan B$．
2、若 $AC=\sqrt 5$，求 $AC$ 边上的中线长．
已知 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C: y^2=x$ 的焦点为 $F$．$A,B$ 为 $C$ 上两点，$OA\perp AB$．当 $\angle AOF=45^{\circ}$ 时，$|AB|=$ [[nn]]；$3|FA|+|FB|$ 的最小值为 _______．
已知定义在区间 $[1,+\infty)$ 上的函数 $f(x)=\begin{cases}1,& 1\leqslant x<2,\\\dfrac{f(x-1)}{1+f(x-1)},& x\geqslant 2.\end{cases}$ 下列说法正确的有（ ）
A．$f(2024)=\dfrac 1{2024}$
B．当 $x>1$ 时，$\dfrac 1 x\leqslant f(x)<\dfrac 1{x-1}$
C．若 $f(x)\leqslant\dfrac k{x+1}$，则 $k$ 的最小值为 $2$
D．若 $f(x)\geqslant a^x$（$a>0$，$a\neq 1$），则 $a$ 的最大值为 $\dfrac{\sqrt[3] 9}3$
设 $l$ 为某正方体的一条体对角线，$S$ 为该正方体的各顶点与各棱中点所构成的点集．若从 $S$ 中任选两点连成线段，则与 $l$ 垂直的线段数目为（ ）
A．$12$
B．$21$
C．$27$
D．$33$
$1593$ 年，韦达发表了圆周率无穷乘积极限公式，这是第一个可以直接用于计算圆周率到任意精度的古典公式．推导过程如下：因为 \[\begin{split}\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\alpha}4\cdots\cos\dfrac{\alpha}{2^{n-1}}\cos\dfrac{\alpha}{2^n}&=\dfrac{\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\alpha}4\cdots\cos\dfrac{\alpha}{2^{n-1}}\cos\dfrac{\alpha}{2^n}\sin\dfrac{\alpha}{2^n}}{\sin\dfrac{\alpha}{2^n}}\\ &=\dfrac{\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\alpha}4\cdots\cos\dfrac{\alpha}{2^{n-1}}\sin\dfrac{\alpha}{2^{n-1}}}{2\sin\dfrac{\alpha}{2^n}}\\ &=\cdots\\ &=\dfrac{\sin\alpha}{2^n\sin\dfrac{\alpha}{2^n}},\end{split}\]其中 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 且当 $n\rightarrow+\infty$ 时，$2^n\sin\dfrac{\alpha}{2^n}\rightarrow\alpha$，所以\[\cos\dfrac{\alpha}2\cos\dfrac{\alpha}4\cdots\cos\dfrac{\alpha}{2^n}\cdots=\dfrac{\sin\alpha}{\alpha}.\]根据以上信息，计算\[\dfrac{\sqrt{2+\sqrt 2}}2\times\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}2\times\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}}2\times\cdots\]的值为（ ）
A．$\dfrac 1{\pi}$
B．$\dfrac{\sqrt 2}{\pi}$
C．$\dfrac 2{\pi}$
D．$\dfrac{2\sqrt 2}{\pi}$
已知常数 $p\in(0,1)$，在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中，记 $X$ 为首次成功时所需的试验次数，$X$ 的取值为所有正整数，此时称离散型随机变量 $X$ 的概率分布为几何分布．
1、对于正整数 $k$，求 $P(X=k)$，并根据\[E(10)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}k P(X=k)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sum_{k=1}^n k P(X=k)\right)\]求 $E(10)$．
2、对于几何分布的拓展问题，在成功的概率为 $p$ 的伯努利试验中，记首次出现连续两次成功时所需的试验次数的期望为 $E_2$，现提供一种求 $E_2$ 的方式：先进行第一次试验，若第一次试验失败，因为出现试验失败对出现连续两次成功毫无帮助，可以认为后续期望仍是 $E_2$，即总的试验次数为 $\left(E_2+1\right)$；若第一次试验成功，则进行第二次试验，当第二次试验成功时，试验停止，此时试验次数为 $2$，若第二次试验失败，相当于重新试验，此时总的试验次数为 $\left(E_2+2\right)$． ① 求 $E_2$； ② 记首次出现连续 $n$ 次成功时所需的试验次数的期望为 $E_n$，求 $E_n$．
已知抛物线 $E: y=x^2$，过点 $T(1,2)$ 的直线与抛物线 $E$ 交于 $A,B$ 两点，设抛物线 $E$ 在点 $A,B$ 处的切线分别为 $l_1$ 和 $l_2$，已知 $l_1$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，$l_2$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，设 $l_1$ 与 $l_2$ 的交点为 $P$．
1、证明：点 $P$ 在定直线上．
2、若 $\triangle PMN$ 面积为 $\sqrt 2$，求点 $P$ 的坐标．
3、若 $P,M,N,T$ 四点共圆，求点 $P$ 的坐标．
