Math173

2024年高考全国I卷#18

已知函数 $f(x)=\ln\dfrac x{2-x}+a x+b(x-1)^3$． 若 $b=0$，且 $f^{\prime}(x)\geqslant 0$，

1、求 $a$ 的最小值；

2、证明：曲线 $y=f(x)$ 是中心对称图形；

3、若 $f(x)>-2$ 当且仅当 $1<x<2$，求 $b$ 的取值范围．

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2024年高考全国I卷#14

甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 $1,3,5,7$，乙的卡片上分别标有数字 $2,4,6,8$．两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人得 $1$ 分，数字小的人得 $0$ 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用），则四轮比赛后，甲的总得分不小于 $2$ 的概率为 _______．

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2024年高考全国I卷#11

造型 $\propto$ 可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线 $C$ 的一部分．已知 $C$ 过坐标原点 $O$，且 $C$ 上的点满足横坐标大于 $-2$，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a$（$a<0$）的距离之积为 $4$，则[[nn]]

A．$a=-2$

B．点 $(2\sqrt 2,0)$ 在 $C$ 上

C．$C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为 $1$

D．当点 $\left(x_0,y_0\right)$ 在 $C$ 上时，$y_0\leqslant\dfrac 4{x_0+2}$

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2024年高考全国I卷#8

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，$f(x)>f(x-1)+f(x-2)$，且当 $x<3$ 时，$f(x)=x$，则下列结论中一定正确的是（       ）

A．$f(10)>100$

B．$f(20)>1000$

C．$f(10)<1000$

D．$f(20)<10000$

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2024年高考全国甲卷（理科）#21

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，点 $M\left(1,\dfrac 3 2\right)$ 在椭圆 $C$ 上，且 $MF$ 垂直于 $x$ 轴．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、$P(4,0)$，过 $P$ 的直线与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，$N$ 为 $FP$ 的中点，直线 $NB$ 与 $MF$ 交于 $Q$，证明：$AQ\perp y$ 轴．

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2024年高考全国甲卷（理科）#20

已知函数 $f(x)=(1-a x)\ln (1+x)-x$．

1、当 $a=-2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；

2、当 $x\geqslant 0$ 时，$f(x)\geqslant 0$，求 $a$ 的取值范围．

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2024年高考全国甲卷（理科）#16

有 $ 6$ 个相同的球，分别标有数字 $1,2,3,4,5,6$，从中无放回地随机取 $3 $ 次，每次取 $1$ 个球．设 $m$ 为前两次取出的球上数字的平均值，$n$ 为取出的三个球上数字的平均值，则 $m$ 与 $n$ 之差的绝对值不大于 $\dfrac{1}{2}$ 的概率为_______．

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2024年高考全国甲卷（理科）#12

已知 $b$ 是 $a,c$ 的等差中项，直线 $a x+b y+c=0$ 与圆 $x^2+y^2+4y-1=0$ 交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|$ 的最小值为（       ）

A．$2$

B．$3$

C．$4$

D．$6$

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2024年高考全国甲卷（理科）#11

在 $\triangle ABC$ 中，内角 $A,B,C$ 所对边分别为 $a,b,c$，若 $B=\dfrac{\pi}3$，$b^2=\dfrac 9 4 a c$，则 $\sin A+\sin C=$（       ）

A．$\dfrac 32$

B．$\sqrt 2$

C．$\dfrac{\sqrt 7}2$

D．$\sqrt{3}2$

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两条动直线 $y=k_1 x$ 和 $y=k_2 x$ 分别与抛物线 $C:~ y^2=2 p x$（$p>0$）相交于不同于原点的 $A,B$ 两点，当 $\triangle OAB$ 的垂心恰是 $C$ 的焦点时，$|AB|=4\sqrt 5$．

1、求 $p$．

2、若 $k_1 k_2=-4$，弦 $AB$ 中点为 $P$，点 $M(-2,0)$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $N$ 在拋物线 $C$ 上，求 $\triangle PMN$ 的面积．

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