已知 $f(x)=a x^3+b x+c$（$x\in [0,1]$）满足 $f(x)\in [0,1]$，则 $b$ 的最大值是_____．
已知实数 $a, b, c, d$ 满足 $a \geqslant b \geqslant d>0$ 及 $a+b-3 c-3 d \leqslant 0$，则 $\dfrac{b d+a c}{a b}$ 的最小值为_____．
设 $\max \{a, b, c\}$ 为实数 $a, b, c$ 中的最大的数，若 $x,y,z>0$，则 $\max \left\{x z+\dfrac{1}{y}, x+\dfrac{1}{y z}, \dfrac{y}{x}+\dfrac{1}{z}\right\}$ 的最小值为_____．
已知 $f(x)=a x^3+b x^2+c x+d$（$x \in[0,1]$）且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant 1$，则 $a$ 的最小值为_____．
已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，离心率为 $ e$，点 $P$ 在椭圆上，连接 $P F_1$ 并延长交 $C$ 于另一点 $Q$，连接 $Q F_2$，若存在点 $P$ 使 $|P Q|=\left|Q F_2\right|$ 成立，则 $e^2$ 的取值范围为_____．
已知 $O$ 为坐标原点，$A, B, C$ 为椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）上三点，且 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{A C}=0$，直线 $B C$ 与 $x$ 轴交于点 $D$，若 $4 \overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{O D}^2$，则 $E$ 的离心率 $e$ 为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
B．$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
C．$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
D．$\dfrac{2 \sqrt{5}}{5}$
满足 $\sin\left(\sqrt 2\right)+\sin\left(2\sqrt 2\right)+\cdots+\sin\left(n\sqrt 2\right)>2$ 的正整数 $n$ 个数为（ ）
A．$0$
B．$1$
C．无穷多个
D．前三个答案都不对
已知正实数构成的集合 $A=\left\{a_1, a_2, \cdots, a_n\right\}$（$n \geqslant 2$），定义 $$ A+A=\left\{a_i+a_j \mid a_i, a_j \in A, i \neq j\right\}. $$ 当集合 $A+A$ 中的元素恰有 $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 个数时，称集合 $A$ 具有性质 $\Omega$．
1、判断集合 $A_1=\{1,2,4\}$，$A_2=\{1,2,4,5\}$ 是否具有性质 $\Omega$；
2、设集合 $B=\{1,3, p, q\}$（$p, q \in \mathbb N$，且 $3<p<q$）具有性质 $\Omega$，若 $B+B$ 中的所有元素能构成等差数列，求 $p, q$ 的值；
3、若集合 $A$ 具有性质 $\Omega$，且 $A+A$ 中所有元素能构成等差数列，问：集合 $A$ 中元素个数是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在，请说明理由．
已知 $a\in\mathbb R$，函数 $f(x)=\ln x+\dfrac{2}{x}-a(x+1)$（$x>0$）．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性；
2、若 $x_1, x_2$（$x_1<x_2 $）是 $ f(x)$ 的两个极值点，证明：$ f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)<\sqrt{\dfrac{1}{2 a}-4}$．
已知函数 $f(x)=a \ln x-(x-1) \mathrm{e}^{b x}$（$a, b$ 是常数，$\mathrm e $ 是自然对数的底数）．
1、当 $a=1$，$b=0$ 时，求函数 $f(x)$ 的最大值；
2、当 $a>\mathrm e$，$b=1$ 时，
① 证明：函数 $f(x)$ 存在唯一的极值点 $\beta$；
② 若 $f(\alpha)=0$，且 $\alpha>\beta$，证明：$(\alpha-\beta)(2 \beta+1)<3\left(\beta^2-1\right)$．
