2024年高考上海卷#20
已知双曲线 $\Gamma: x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$），$A_1,A_2$ 为左右顶点，过点 $M(-2,0)$ 的直线 $l$ 交双曲线 $\Gamma$ 于两点 $P, Q$，且点 $P$ 在第一象限．
1、若双曲线的离心率 $e=2$，求 $b$．
2、若 $b=\dfrac{2\sqrt 6}3$，$\triangle MA_2 P$ 为等腰三角形，求点 $P$ 的坐标．
3、过点 $Q$ 作 $OQ$ 延长线交 $\Gamma$ 于点 $R$，若 $\overrightarrow{A_1 R}\cdot\overrightarrow{A_2 P}=1$，求 $b$ 的取值范围．
2024年高考上海卷#16
定义集合\[M=\left\{x_0\mid x_0\in \mathbb R,x\in\left(-\infty,x_0\right),f(x)<f\left(x_0\right)\right\},\]在使得 $M=[-1,1]$ 的所有函数 $f(x)$ 中，下列成立的是（ ）
A．存在 $f(x)$ 是偶函数
B．存在 $f(x)$ 在 $x=2$ 处取最大值
C．存在 $f(x)$ 单调递增
D．存在 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处取到极小值
2024年高考上海卷#12
等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1>0$，公比 $q>1$，记集合 $l_n =\left\{x-y\mid x,y\in\left[a_1,a_2\right]\cup\left[a_n,a_{n+1}\right]\right\}$，若对任意正整数 $n$，$l_n$ 都是闭区间，则 $q$ 的范围是_______．
2024年高考天津卷#20
设函数 $f(x)=x\ln x$．
1、求 $f(x)$ 图象上点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；
2、若 $f(x)\geqslant a(x-\sqrt x)$ 在 $x\in(0,+\infty)$ 时恒成立，求 $a$ 的取值范围；
3、若 $x_1,x_2\in(0,1)$，证明：$\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|\leqslant\left|x_1-x_2\right|^{\frac 1 2}$．
2024年高考天津卷#19
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 是公比大于 $0$ 的等比数列．其前 $n$ 项和为 $S_n$．若 $a_1=1$，$S_2=a_3-1$．
1、求数列 $\left\{a_n\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_n$；
2、设数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_n=\begin{cases} k,&n=a_k,\\ b_{n-1}+2k,&a_k<n<a_{k+1},\end{cases}$ 其中 $k$ 是大于 $1$ 的正整数． ① 当 $n=a_{k+1}$ 时，求证：$b_{n-1}\geqslant a_k\cdot b_n$； ② 求 $\displaystyle\sum_{i=1}^{S_n}b_i$．
2024年高考天津卷#18
已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率 $e=\dfrac 1 2$，左顶点为 $A$，下顶点为 $B$，$C$ 是线段 $OB$ 的中点，其中 ${\triangle ABC}$ 的面积为 $\dfrac{3\sqrt 3}2$．
1、求椭圆方程．
2、过点 $C$ 的动直线与椭圆有两个交点 $P,Q$．在 $y$ 轴上是否存在点 $T$ 使得 $\overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TQ}\leqslant 0$．若存在求出这个 $T$ 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．
2024年广东四校高三年级第一次联考#5
小明爬楼梯每一步走 $1$ 级台阶或 $2$ 级台阶是随机的，且走 $1$ 级台阶的概率为 $\dfrac 2 3$，走 $2$ 级台阶的概率为 $\dfrac 1 3$．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第 $4$ 级台阶的条件下，他走了 $3$ 步的概率是（ ）
A．$\dfrac 4 9$
B．$\dfrac 4{27}$
C．$\dfrac 9{13}$
D．$\dfrac{36}{61}$
2024年高考天津卷#9
一个五面体 $ABC-DEF$ 中，已知 $AD\parallel BE\parallel CF$，且两两之间距离为 $1$．并已知 $AD=1$，$BE= 2$，$CF=3$，则该五面体的体积为（ ）
A．$\dfrac{\sqrt 3}6$
B．$\dfrac{3\sqrt 3}4+\dfrac 12$
C．$\dfrac{\sqrt 3}2$
D．$\dfrac{3\sqrt 3}4-\dfrac 12$
2024年高考北京卷#21
已知集合\[M=\{(i,j,k,w)\mid i\in\{1,2\},j\in\{3,4\},k\in\{5,6\},w\in\{7,8\},i+j+k+w~\text{为偶数}\}.\] 给定数列 $A:a_1,a_2,\cdots,a_8$ 和序列 $\Omega:T_1,T_2,\cdots,T_s$，其中\[T_t=\left(i_t,j_t,k_t,w_t\right)\in M,~t=1,2,\cdots,s,\]对数列 $A$ 进行如下变换： 将数列 $A$ 的第 $i_1,j_1,k_1,w_1$ 项均加 $1$，其余项不变，得到的数列记作 $T_1(A)$； 将 $T_1(A)$ 的第 $i_2,j_2,k_2,w_2$ 项加 $1$，其余项不变，得到的数列记作 $T_2 T_1(A)$； 以此类推，得到数列 $T_s\cdots T_2 T_1$，简记为 $\Omega(A)$．
1、给定数列 $A:1,3,2,4,6,3,1,9$ 和序列 $\Omega:(1,3,5,7),(2,4,6,8),(1,3,5,7)$，写出 $\Omega(A)$；
2、是否存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 为\[ a_1+2,a_2+6,a_3+4,a_4+2,a_5+8,a_6+2,a_7+4,a_8+4?\]若存在，写出一个 $\Omega$，若不存在，说明理由；
3、若数列 $A$ 的各项均为正整数，且 $a_1+a_3+a_5+a_7$ 为偶数，求证：存在序列 $\Omega$，使得 $\Omega(A)$ 的各项均相等的充要条件为 $a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_7+a_8$．
