2024年广东四校高三年级第一次联考#19
已知函数 $f(x)=a\mathrm e^x$，$g(x)=\ln x+b$（$a,b\in\mathbb R$）．
1、当 $b=1$ 时，$f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围；
2、已知直线 $l_1 , l_2$ 是曲线 $y=g(x)$ 的两条切线，且直线 $l_1 , l_2$ 的斜率之积为 $1$．
① 记 $x_0$ 为直线 $l_1 , l_2$ 交点的横坐标，求证：$x_0<1$；
② 若 $l_1 , l_2$ 也与曲线 $y=f(x)$ 相切，求 $a,b$ 的关系式并求出 $b$ 的取值范围．
2024年广东四校高三年级第一次联考#18
如果 $n$ 项有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=a_n$，$a_2=a_{n-1}$，$\cdots$，$a_n=a_1$，即 $a_i=a_{n-i+1}$（$i=1,2,\cdots,n$），则称有穷数列 $\left\{a_n\right\}$ 为"对称数列"．
1、设数列 $\left\{b_n\right\}$ 是项数为 $7$ 的 "对称数列"，其中 $b_1,b_2,b_3,b_4$ 成等差数列，且 $b_2=3$，$b_5=5$，依次写出数列 $\left\{b_n\right\}$ 的每一项；
2、设数列 $\left\{c_n\right\}$ 是项数为 $2 k-1$（$k\in\mathbb N^{\ast}$ 且 $k\geqslant 2$）的 "对称数列"，且满足 $ \left|c_{n+1}-c_n\right|=2 $，记 $ S_n $ 为数列 $ \left\{c_n\right\} $ 的前 $ n $ 项和．
① 若 $ c_1,c_2,\cdots,c_k $ 构成单调递增数列，且 $ c_k=2023 $．当 $ k $ 为何值时，$ S_{2 k-1} $ 取得最大值？
② 若 $ c_1=2024 $，且 $ S_{2 k-1}=2024 $，求 $ k$ 的最小值．
2024年广东四校高三年级第一次联考#17
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{\sqrt 3}2$，且 $C$ 的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为 $8\sqrt 3$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、过点 $P(1,0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点，过点 $A$ 与 $x$ 轴垂直的直线与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $Q$．当 $\triangle BPQ$ 的面积取得最大值时，求直线 $l$ 的方程．
2024年广东四校高三年级第一次联考#14
盒子里装有 $5$ 个小球，其中 $2$ 个红球，$3$ 个黑球，从盒子中随机取出 $1$ 个小球，若取出的是红球，则直接丢弃，若取出的是黑球，则放入盒中，则： ① 取了 $3$ 次后，取出红球的个数的数学期望为_____； ② 取了 $n$（$n=2,3,4,\cdots$）次后，所有红球刚好全部取出的概率为_____．
2024年广东四校高三年级第一次联考#13
已知函数 $f(x)=\mathrm e^{2 x-1}-\mathrm e^{1-2 x}+\sin\left(\dfrac{\pi}2 x-\dfrac{\pi}4\right)+1$，则不等式 $f(2 x+1)+f(2-x)\geqslant 2$ 的解集为_______．
2024年广东四校高三年级第一次联考#11
平面上到两定点的距离之积为常数的动点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线 $C$ 是到两定点 $F_1(-\sqrt 2,0),F_2(\sqrt 2,0)$ 的距离之积为常数 $2$ 的点的轨迹，设 $P(m,n)$ 是曲线 $C$ 上的点，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．曲线 $C$ 关于原点 $O$ 成中心对称
B．$-1\leqslant n\leqslant 1$
C．$\triangle PF_1 F_2$ 的面积不超过 $1$
D．$\triangle PF_1 F_2$ 周长的最小值为 $4\sqrt 2$
2024年广东四校高三年级第一次联考#10
设函数 $f(x)=(x-1)^2(x-4)$，则（ ）
A．$x=1$ 是 $f(x)$ 的极小值点
B．$f(2+x)+f(2-x)=-4$
C．不等式 $-4<f(2 x-1)<0$ 的解集为 $\{x\mid 1<x<2\}$
D．当 $0<x<\dfrac{\pi}2$ 时，$f(\sin x)>f\left(\sin^2 x\right)$
2024年广东四校高三年级第一次联考#8
圆锥顶点 $A$，底面半径为 $1$，母线 $AB=4$，$AB$ 的中点为 $M$，一只蚂蚁从底面圆周上的点 $B$ 绕圆锥侧面一周到达 $M$ 的最短路线中，其中下坡路的长是（ ）
A．$0$
B．$\dfrac{2\sqrt 5}5$
C．$\dfrac{4\sqrt 5}5$
D．$\sqrt 5$
2024年广东四校高三年级第一次联考#6
已知等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，$a_{2024}=0$ 是 $S_n=S_{4047-n}$（$n<4047$，$n\in\mathbb N^{\ast}$）的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2024年高考上海卷#21
对于一个函数 $f(x)$ 和一个点 $M(a,b)$，令 $s(x)=(x-a)^2+(f(x)-b)^2$，若 $P\left(x_0,f\left(x_0\right)\right)$ 是 $s(x)$ 取到最小值的点，则称 $P$ 是 $M$ 在 $f(x)$ 的 "最近点"．
1、对于 $f(x)=\dfrac 1 x$，$x\in (0,+\infty)$，求证：对于点 $M(0,0)$，存在点 $P$，使得 $P$ 是 $M$ 在 $f(x)$ 的"最近点"；
2、对于 $f(x)=\mathrm e^x$，$D=\mathbb R$，$M(1,0)$，请判断是否存在一个点 $P$，它是 $M$ 在 $f(x)$ 最近点，且直线 $MP$ 与 $f(x)$ 在点 $P$ 处的切线垂直；
3、设 $f(x)$ 存在导函数，且 $g(x)$ 在定义域 $\mathbb R$ 上恒正，设点 $M_1(t-1,f(t)-g(t))$，$M_2(t+1,f(t)+g(t))$．若对任意的 $t\in\mathbb R$，都存在点 $P$，满足 $P$ 是 $M_1$ 的最近点，也是 $M_2$ 的最近点，试求 $f(x)$ 的单调性．
