2024年清华大学暑期文科营数学试题 #12
已知公差不为 $ 0 $ 的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_1=2$，且 $a_1, a_3, a_7$ 成等比数列．
（1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $b_1=1$，$b_n b_{n+1}=a_n$，
① 求证：$b_{2 n}=\dfrac{4^n}{\mathop{\rm C}\nolimits_ {2 n}^n}$；
② 是否存在 $n \in \mathbb N^{\ast}$，使得 $\displaystyle\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{b_i}<2 \sqrt{n+1}-2$．
2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #19
若函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，且存在非零常数 $T$，使得对任意 $x\in\mathbb R$，都有 $f(x-T)+ f(x+T)=Tf(x)$，则称 $f(x)$ 是类周期为 $T$ 的类周期函数．
（1）若函数 $f(x)$ 是类周期为 $1$ 的类周期函数，证明：$f(x)$ 是周期函数；
（2）已知 $f(x)=2 x-\sin\omega x$（$\omega>0$）是类周期函数，求 $\omega$ 的值及 $f(x)$ 的类周期；
（3）若奇函数 $f(x)$ 是类周期为 $T$（$T>0$）的类周期函数，且 $\dfrac{f(3 T)}{f(T)}=1$，求 $T$ 的值，并给出符合条件的一个 $f(x)$．
2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #18
已知正四棱柱 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的底面 $ABCD$ 为边长为 $3$ 的正方形，$AA_1=6$，点 $E,F,G$ 分别在线段 $A_1 D_1,AA_1,B_1 C_1$ 上，且 $A_1 F=2 A_1 E=2$，$C_1 G=\dfrac 3 2$，点 $H$ 在线段 $BB_1$ 上且 $EF\parallel GH$．
（1）求锐二面角 $A_1-FH-E$ 的余弦值；
（2）求平面 $EFHG$ 将四棱柱分割成两个多面体的体积比．
2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #14
在三棱锥 $P-ABC$ 中，$AB=BC=CA=2$，$PA=PB$，二面角 $P-AB-C$ 的大小为 $\dfrac{\pi}3$，则 $PA^2+ PB^2+PC^2$ 最小时，三棱锥 $P-ABC$ 的体积为_____．
2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #10
已知 $n>\dfrac m 2$，且 $x=\left|\log_2 m\right|$，$y=\left|\log_2 n+1\right|$，$z=2\left|\log_2\left(\dfrac m 2+n\right)\right|$，则（ ）
A．若 $x=y$，则 $n>\dfrac 1 2$
B．若 $x=y$，则 $m+n$ 的最大值为 $\sqrt 2$
C．若 $x=y=z$，则 $m^4+2 m^2-4 m+1=0$
D．若 $x=y=z$，则 $n^2-2 n+\dfrac 3 4>0$
2024年9月炎德英才名校联考联合体高三第1次联考 #8
若 $\alpha,\beta,\gamma\in\left(2\pi,\dfrac{5\pi}2\right)$，且\[\sin\alpha-2\cos\dfrac{\beta+\gamma}2\sin\dfrac{\beta-\gamma}2=\cos\alpha-2\cos\dfrac{\beta+\gamma}2\cos\dfrac{\beta-\gamma}2=0,\]则 $\sin (\alpha-\beta)=$ （ ）
A．$\pm\dfrac 1 2$
B．$\dfrac 1 2$
C．$\pm\dfrac{\sqrt 3}2$
D．$-\dfrac{\sqrt 3}2$
设函数 $y=f(x),x\in D$．记 $\underbrace{f(f(f\cdots f(x)))}_{n~\text{个}~f}=f_n(x)$，$n\in\mathbb N$，$n\geqslant 1$．对于 $D$ 的非空子集 $A$，若对任意 $x\in A$，都有 $f(x)\in A$，则称函数 $y=f(x)$ 在集合 $A$ 上封闭．
（1）若 $g(x)=2^x$，$h(x)=2^{-x}$，$A=[0,1]$，分别判断函数 $y=g(x)$ 和 $y=h(x)$ 是否在集合 $A$ 上封闭；
（2）设 $f(x)=x^2$，$x\in\mathbb R$，区间 $B=[a,b]$（其中 $a<b$），若函数 $y=f(x)$ 在集合 $B$ 上封闭，求 $b-a$ 的最大值；
（3）设 $k\in\mathbb N$，$k\geqslant 1$，若函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，函数 $y=f(x)$ 和 $y=f_k(x)$ 的图象都是连续的曲线，且函数 $y=f_k(x)$ 在区间 $I=[a,b]$（其中 $a<b$）上封闭，证明：存在 $x_0\in\mathbb R$，使得 $f\left(x_0\right)=x_0$．
2024年10月广深实验高三数学六校考试模拟考试 #18
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-2 a x-1+2 a$．
（1）若 $a\in\mathbb R$，讨论 $f(x)$ 的单调性；
（2）若 $a\in\mathbb R$，已知函数 $g(x)=(x-1)\ln (x-1)$，若 $f(x)\geqslant g(x)$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．
