已知$a,b,c$ 均为正实数，求证：$2\sqrt {bc+ca+ab}\leqslant \sqrt 3 \sqrt[3]{(b+c)(c+a)(a+b)}$．
每日一题[1653]配次数
已知正数 $x,y,z$ 满足 $x+y+z=1$．求证：对任意正整数 $n$，有 $x^n+y^n+z^n \geqslant \dfrac {1}{3^{n-1}}$．
每日一题[1652]早退
在某次交友活动中，原计划每两个人都要握一次手，但有 $4$ 个人各握了两次手之后就离开了．这样，整个活动共握了 $60$ 次手，那么最开始参加活动的人数是_______．
每日一题[1651]左右互搏
设 $S$ 是至少含有两个元素的集合，在 $S$ 上定义了一个二元运算 $\ast$（即对任意的 $a,b\in S$，对于有序元素对 $(a,b)$，在 $S$ 中有唯一确定的元素 $a\ast b$ 与之对应），若对任意的 $a,b\in S$，有 $a*(b*a)=b$，则对任意的 $a,b\in S$，下列式子中无法推断其恒成立的是（ ）
A．$(a*b)*a=a$
B．$(a*(b*a))*(a*b)=a$
C．$b*(b*b)=b$
D．$(a*b)*(b*(a*b)))=b$
每日一题[1650]对称设参
如图，边长为 $2$ 的等边三角形 $ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 的中点，$E,F$ 分别是边 $AB,AC$ 上的动点．
1、若 $\angle EDF=120^{\circ}$，求证：$AE+AF$ 为定值．
2、若 $\angle EDF=60^{\circ}$，此时 $AE+AF$ 是否为定值？若是，请给出证明；否则，求出 $AE+AF$ 的取值范围．
每日一题[1649]左右为难
已知正项数列 $\{a_n\}$，满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{\sqrt{a_n^2+1}}$，求证：$$\ln(n+1)<a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_{n+1}<\ln\left(\dfrac{2n}3+1\right)+\dfrac12.$$
每日一题[1648]代数与几何
已知 $x,y,z$ 是正数，且满足$$\begin{cases} x^2+y^2+xy=3,\\ y^2+z^2+yz=4,\\ z^2+x^2+zx=7.\end{cases}$$求 $x+y+z$．
每日一题[1647]分拆
证明：
1、对于任意的 $a,b>0$，有 $\dfrac {1}{a+b}\leqslant \dfrac 14\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)$．
2、设 $x_1,x_2,x_3>0$，且 $\dfrac {1}{x_1}+\dfrac {1}{x_2}+\dfrac {1}{x_3}=1$，则$$\dfrac {x_1+x_2+x_3}{x_1x_3+x_3x_2}+\dfrac {x_1+x_2+x_3}{x_1x_2+x_3x_1}+\dfrac {x_1+x_2+x_3}{x_2x_1+x_3x_2}\leqslant \dfrac 32.$$
每日一题[1646]暗藏陷阱
已知数列 $\{a_n\}$ 首项为 $2$，且满足 $6S_n=3a_{n+1}+4^n-1$，其中 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，则 $S_n$ 的最大值为_______．
每日一题[1645]红色三角形
平面上 $2n$ 个点（$n>1$，$n \in \mathbb N$），无三点共线，任意两点间连线段，将其中任意 $n^2+1$ 条线段染成红色．求证：三边都为红色的三角形至少有 $n$ 个．