有一个三人报数游戏：首先 $A$ 报数字 $1$，然后 $B$ 报下两个数字 $2,3$，接下来 $C$ 报下三个数字 $4,5,6$，然后轮到 $A$ 报下四个数字 $7,8,9,10$，依次循环，直到报出 $10000$，则 $A$ 报出的第 $2019$ 个数字是_______．
按照如下流程产生一个 $0$ 到 $1$ 的随机数：先投掷一枚硬币，如果是正面朝上，则再次投掷，投掷为正面则得到 $0$，投掷为反面则得到 $1$；如果是反面朝上，则得到一个 $[0,1]$ 上的随机数．设 $x,y$ 是按此流程得到的两个随机数，则 $|x-y|>\dfrac 12$ 的概率是_______．
$\tt Debra$ 不断地掷硬币，直到她连续得到两个正面或两个反面时停止，则她以看到连续两个正面为结束时看到第二个正面之前先看到第二个反面的概率是_______．
$\tt Henry$ 决定在某天早上进行锻炼，他从家出发 $2$ 千米外的健身房并走了 $\dfrac 34$ 的路程，此时他改变了主意，掉头回家，并走了离家距离的 $\dfrac 34$，然后他又改变了主意，走了离健身房距离的 $\dfrac 34$，以此类推．如果 $\tt Henry$ 持续在距离当前目的地的 $\dfrac 34$ 路程处改变主意，那么最后他将近似在离家 $A$ 千米处和离家 $B$ 千米处之家来回走动，则 $|A-B|=$ _______．
对于无穷数列 $\{a_n\},\{b_n\}$，若 $b_k=\max\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}-\min\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}$（$k=1,2,3,\cdots$），则称 $\{b_n\}$ 是 $\{a_n\}$ 的收缩数列，其中，$\max\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}$，$\min\{a_1,a_2,\cdots,a_k\}$ 分别表示 $a_1,a_2,\cdots,a_k$ 中的最大数与最小数．已知 $\{a_n\}$ 为无穷数列，其前 $n$ 项和为 $S_n$，数列 $\{b_n\}$ 是 $\{a_n\}$ 的收缩数列．
1、若 $a_n=2n+1$，求 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和．
2、证明：$\{b_n\}$ 的收缩数列仍是 $\{b_n\}$．
3、若 $S_1+S_2+\cdots+S_n=\dfrac{n(n+1)}2a_1+\dfrac{n(n-1)}2b_n$（$n=1,2,3,\cdots$），求所有满足该条件的 $\{a_n\}$．
已知集合 $M\subseteq N^{\ast}$，且 $M$ 中的元素个数 $n$ 大于等于 $5$．若集合 $M$ 中存在四个不同的元素 $a,b,c,d$，使得 $a+b=c+d$，则称集合 $M$ 是关联的，并称集合 $\{a,b,c,d\}$ 是集合 $M$ 的关联子集；若集合 $M$ 不存在关联子集，则称集合 $M$ 是独立的．
1、分别判断集合 $\{2,4,6,8,10\}$ 与 $\{1,2,3,5,8\}$ 是关联的还是独立的？若是关联的，写出其所有的关联子集．
2、已知集合 $M=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$ 是关联的，且任取集合 $\{a_i,a_j\}\subseteq M$，总存在 $M$ 的关联子集 $A$，使得 $\{a_i,a_j\}\subseteq A$，若 $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$，求证：$a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ 是等差数列．
3、若集合 $M$ 是独立的，求证：存在 $x\in M$，使得 $x>\dfrac{n^2-n+9}4$．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1$，过点 $P\left(\dfrac{\sqrt 2}{3},-\dfrac 13\right)$ 而不过点 $Q(\sqrt 2,1)$ 的动直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $A,B$ 两点．
1、求 $\angle{AQB}$．
2、记 $\triangle{QAB}$ 的面积为 $S$，证明：$S<3$．
解析
1、平移坐标系，使得 $Q$ 为坐标原点，则椭圆方程变为\[C':\dfrac{\left(x'+\sqrt 2\right)^2}4+\dfrac{\left(y'+1\right)^2}2=1,\]即\[C':\dfrac{x'^2}4+\dfrac{y'^2}2+\dfrac{\sqrt 2}2x'+y'=0,\]此时 $P'\left(-\dfrac{2\sqrt 2}3,-\dfrac 43\right)$，设过点 $P'$ 的直线\[l':m\left(x'+\dfrac{2\sqrt 2}3\right)+n\left(y'+\dfrac 43\right)=0,\]化齐次联立，有\[\dfrac{x'^2}4+\dfrac{y'^2}2+\left(\dfrac{\sqrt 2}2x'+y'\right)\cdot \dfrac{mx'+ny'}{-\dfrac{2\sqrt 2}3m-\dfrac 43n}=0,\]由于 $x'^2$ 和 $y'^2$ 的系数之和为\[\dfrac 14+\dfrac 12+\dfrac{\dfrac{\sqrt 2}2m+n}{-\dfrac{2\sqrt 2}3m-\dfrac 43n}=0,\]因此 $A'Q'\perp B'Q'$，进而 $\angle AQB=90^\circ$．
2、作伸缩变换 $x'=x$，$y'=\sqrt 2y$，则椭圆方程变为 $C':x'^2+y'^2=4$，且 $P'\left(\dfrac{\sqrt 2}3,-\dfrac{\sqrt 2}3\right)$，$Q'\left(\sqrt 2,\sqrt 2\right)$，于是 $\triangle Q'A'B'$ 的面积\[S'<\dfrac 12\cdot |P'Q'|\cdot 4=\dfrac{4\sqrt{10}}3,\]因此 $\triangle QAB$ 的面积\[S<\dfrac1{\sqrt 2}S=\dfrac{4\sqrt 5}3<3,\]原命题得证．
设数列 $\{a_n\}$ 为等差数列，数列 $\{b_n\}$ 满足：$b_1=a_1$，$b_2=a_2+a_3$，$b_3=a_4+a_5+a_6$，$\cdots $，若 $\lim\limits_{n\to \infty}{\dfrac{b_n}{n^3}}=2$，则数列 $\{a_n\}$ 的公差 $d$ 为（ ）
A．$\dfrac 12$
B．$1$
C．$2$
D．$4$
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 13$，$a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n^2}$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）．
1、证明：对一切 $n\in \mathbb N^{\ast}$，有 $a_n<a_{n+1}<1$．
2、证明：对一切 $n\in \mathbb N^{\ast}$，有 $a_n>\dfrac 12 -\dfrac 1{4n}$．
