2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #20
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点为 $(2,0)$，且焦距为 $2$．$A$ 为第一象限内 $E$ 上的动点，过点 $A$ 作斜率为 $\dfrac 1 2,-\dfrac 1 2$ 的直线分别与 $E$ 交于点 $M,N$（均异于点 $A$），直线 $MN$ 与 $x$ 轴交于点 $H$，$Q$ 为线段 $MN$ 的中点，直线 $AQ$ 与 $x$ 轴交于点 $P$．
1、求 $E$ 的方程；
2、当 $|HP|=3$ 时，求点 $A$ 的横坐标．
2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #15
已知非空数集 $I,P$ 满足：
条件一 $\forall x\in I$，有 $x\in P$；
条件二 $\forall x,y\in I$，有 $x+y\in I$；
条件三 $\forall x\in I$ 且 $\forall y\in P$，有 $x y\in I$，
则称 $I$ 是 $P$ 的理想子集．
下列结论中正确结论的序号是_____．
① 若 $I=\{2 k\mid k\in\mathbb Z\}$，则 $I$ 是 $\mathbb Z$ 的理想子集；
② 若 $I$ 是 $\mathbb R$ 的理想子集，且存在非零实数 $a\in I$，则 $I=\mathbb R$；
③ 若 $I_1,I_2$ 是 $P$ 的理想子集，则 $I_1\cup I_2$ 也是 $P$ 的理想子集；
④ 若 $I_1,I_2$ 是 $P$ 的理想子集，则 $I_1\cap I_2$ 也是 $P$ 的理想子集．
2025 年北京市东城区高三期末数学试卷 #10
已知 $f(x)=\sin\pi x$，$g(x)=-x^2+2 a x-a^2+1$．用 $\displaystyle\max\{a,b\}$ 表示 $a,b$ 中的最大值，设 $M(x)=\displaystyle\max\{f(x),g(x)\}$．若函数 $M(x)$ 在区间 $(0,2)$ 上有且仅有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（ ）
A．$(1,3)$
B．$\left(\dfrac 3 2,\dfrac 5 2\right)$
C．$(2,3)$
D．$\left(\dfrac 5 2,3\right)$
2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #21
已知 $\left\{a_n\right\}$ 为各项均为整数的无穷递增数列，且 $a_1=1$．对于 $\left\{a_n\right\}$ 中的任意一项 $a_k$（$k\geqslant 3$）， 在 $\left\{a_n\right\}$ 中都存在两项 $a_i,a_j$（$i<j$），使得 $a_k=2 a_j-a_i$ 或 $a_k=\dfrac{a_j^2}{a_i}$．
1、若 $a_2=3$，$a_5=25$，写出 $a_4$ 的所有可能值；
2、若 $a_m=2025$．
① 当 $a_2=3$ 时，求 $m$ 的最大值；
② 当 $a_2=2$ 时，求 $m$ 的最小值．
2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #20
已知函数 $f(x)=\dfrac{\ln (a x)}{x-1}$．
1、当 $a=1$ 时，求 $f(x)$ 的定义域；
2、已知 $f(x)$ 在区间 $(-\infty,-1]$ 上单调递减，求 $a$ 的取值范围；
3、当 $a=\dfrac 2{\mathrm e}$ 时，证明：若 $x_1\in(0,1)$，$x_2\in(1,+\infty)$，则 $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)>\dfrac 3 2$． （参考数据：$\mathrm e^2\approx 7.39$，$\mathrm e^3\approx 20.09$，$\mathrm e^4\approx 54.60$）
2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #19
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左顶点为 $A(-2,0)$，离心率 $e=\dfrac{\sqrt 3}2$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程；
2、设点 $P$ 为 $C$ 上异于顶点的一点，点 $P$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $Q$，过 $A$ 作 $OP$ 的平行线 $l$，$l$ 与 $C$ 的另一个交点为 $M$．当 $M$ 与 $Q$ 不重合时，求证：$MQ\parallel AP$．
2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #15
已知曲线 $C: x-2\sqrt x+y^2=0$．下列四个结论中正确结论的序号为_____．
① 曲线 $C$ 关于直线 $x=1$ 对称；
② 曲线 $C$ 上恰好有 $4$ 个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
③ 曲线 $C$ 上存在一点 $P$，使得 $P$ 到点 $(1,0)$ 的距离小于 $1$；
④ 曲线 $C$ 所围成区域的面积大于 $4$．
2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #14
已知函数 $f(x)=\begin{cases}x^2-x,&x\geqslant a,\\a x-1,&x<a\end{cases}$ 存在最小值，则 $a$ 的取值范围是_____．
2025 年北京市海淀区高三期末数学试卷 #10
$2023$ 年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从 $2$ 月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多 $200$ 万元，乙公司每个月盈利比前一个月增加 $10\%$．记甲、乙两公司在 $2023$ 年第 $n$ 个月的盈利分别为 $Q_1(n),Q_2(n)$（单位：万元）．已知 $Q_1(1)=1200$，$Q_2(1)=1100$，则 $Q_1(n)-Q_2(n)$ 最大时，$n$ 的值为[[nn]] （参考数据：$\lg 1.1\approx 0.0414$，$\lg 2\approx 0.3010$）
A．$7$
B．$8$
C．$9$
D．$10$
用 $\operatorname{card}(X)$ 表示有限集 $X$ 中元素的个数．若 $\operatorname{card}(A\cup B)=30$，$\operatorname{card}(A\cup C)=40$，$\operatorname{card}(B\cup C)=50$，则 $\operatorname{card}(A\cup B\cup C)$ 的取值范围是_____．
