已知 $abcd=1$，求证：\[\begin{vmatrix}a^2+\dfrac 1{a^2}&a&\dfrac 1a&1\\ b^2+\dfrac1{b^2}&b&\dfrac 1b&1\\ c^2+\dfrac1{c^2}&c&\dfrac 1c&1\\ d^2+\dfrac1{d^2}&d&\dfrac 1d&1\end{vmatrix}=0.\]
已知函数 $f(x)=x^3+mx^2+(m-1)x+1$ 在 $x=-1$ 处取得极值．
1、求 $m$ 的值．
2、若过 $(1,t)$ 可作曲线 $y=f(x)$ 的三条切线，求实数 $t$ 的取值范围．
设 $a_n=\dfrac{10}{1}\cdot \dfrac{11}{3}\cdots\dfrac{n+9}{2n-1}$，求证：数列 $\{a_n\}$ 有极限，并求出该极限．
如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E,F$ 分别在边 $AB,BC$ 上，等腰三角形 $DEF$ 的底边 $DE$ 上的高为 $FG$ 且 $DE=FG$．若 $\triangle ADE$ 和 $\triangle CDF$ 的面积均为 $20$，则 $\triangle BEF$ 的面积为_______．
设 $a,b\in\mathbb R$，若 $x{\rm e}^x-\ln x\geqslant ax^2+b+1$ 对任意 $x>0$ 恒成立，则当 $ab$ 取得最大值时，$\dfrac 1a+2\ln b=$ _______．
在长 $400$ 米的环形跑道，$A,B$ 两点相距 $100$ 米，甲、乙两人分别从 $A,B$ 点出发按逆时针方向跑步，甲的速度为 $5$ 米每秒，乙的速度为 $4$ 米每秒，每人每跑 $100$ 米都要停下来休息 $10$ 秒，那么甲追上乙需要多少秒？
如图 $1$，在平面直角坐标系中，$AC=3$，过点 $A$ 作 $AB\perp x$ 轴于点 $B$，$AC\perp y$ 轴于点 $C$，连接 $BC$，$M$ 是 $OB$ 上一点，$\angle BCM=\angle BCA=30^\circ$．
1、求点 $A,M$ 的坐标．
2、如图 $2$，过 $M$ 作 $MN\parallel BC$，若 $BC$ 上有一动点 $E$，过点 $E$ 作 $EF\perp MN$，垂足为 $F$，连接 $AE,FC$，求 $AE+EF+FC$ 的最小值．
3、如图 $3$，将 $\triangle ABC$ 绕着点 $C$ 顺时针旋转，记旋转后的 $\triangle ABC$ 为 $\triangle A'B'C'$．当射线 $CA'$ 和 $CB'$ 都与 $x$ 轴相交时，设交点分别为 $G,H$．在整个旋转过程中，$\triangle GBC$ 能否为等腰三角形，若存在，请直接写出此时 $\dfrac{HG}{HC}$ 的值；若不存在，请说明理由．
如图，$\triangle ABC$ 中，$AB=AC$，$\angle BAC=\alpha$，点 $D$ 在 $\triangle ABC$ 内部，且使得 $\angle ABD=\angle BAD=\dfrac{\alpha}2-30^\circ$，则 $\angle ACD$ 的度数为_______．
