Math173

已知函数 $f(x)=m {\rm e}^x-x^2-x+2$．

1、若函数 $f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围．

2、若 $m<0$，且 $f(x)$ 有两个零点 $x_1, x_2$，证明：$\left|x_1-x_2\right|<3+\dfrac{m}{3}$．

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如图，长方形 $A B C D$ 中，$A B=\dfrac{\sqrt{15}}{2}$，$A D=1$，点 $E$ 在线段 $A B$（端点除外）上，现将 $\triangle A D E$ 沿 $D E$ 折起为 $\triangle KD E$．设 $\angle A D E=\alpha$，二面角 $K-D E-C$ 的大小为 $\beta$，若 $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{2}$，则四棱锥 $K-B C D E$ 体积的最大值为_______．

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已知函数 $f(x)=\dfrac{a}{2} x^2-x-x \ln x$（$a \in \mathbb{R}$）．

1、若 $a=2$，求方程 $f(x)=0$ 的解．

2、若 $f(x)$ 有两个零点且有两个极值点，记两个极值点为 $x_1, x_2$，求 $a$ 的取值范围并证明： $$ f\left(x_1\right)+f\left(x_2\right)<\frac{1}{2 \mathrm{e}} . $$

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已知抛物线 $H: x^2=2 p y$（$p$ 为常数，$p>0$），如图，$A, B, C$ 是 $H$ 上不同的三点，过三点的三条切线分别两两相交于点 $A', B', C'$，证明：$\dfrac{|A C'|}{|C'B'|}=\dfrac{|B'A'|}{|A'C|}=\dfrac{|C'B|}{|B A'|}$．

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已知正实数 $0<a \leqslant \dfrac{1}{2} \leqslant b<1$，函数 $f(x)=a^x+b^{1-x}$（$x \in[0,1]$）．

1、若 $a+b=1$，证明：$f(x)$ 在 $[0, b]$ 上单调递减．

2、证明：对任意 $m, n \in \mathbb R^{\ast}$，$m+n=1$，有 $m^n+n^m \leqslant \sqrt{m}+\sqrt{n} \leqslant m^m+n^n$．

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已知抛物线 $y^2=2 p x$（$p>0$）与双曲线 $y=-\dfrac{1}{x}$ 相交于点 $R$，抛物线与双曲线的公切线分别与拋物线、双曲线相切于点 $S, T$，求证：对于任意正实数 $p$，$\triangle R S T$ 的面积是与 $p$ 无关的常数．

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已知 $y=f(x)$ 是 $\mathbb N^{\ast}\to \mathbb N^{\ast}$ 的函数且 $f(3)<f(1)<f(2)$，若对任意 $n \in \mathbb N^{\ast}$，均有 \[f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(f(f(n)))=4 n+3 ,\]则 $f(2022)=$ [[nn]]．已知 $y=f(x)$ 是 $\mathbb N^{\ast}\to \mathbb N^{\ast}$ 的函数且 $f(3)<f(1)<f(2)$，若对任意 $n \in \mathbb N^{\ast}$，均有 \[f(n)+f(n+1)+f(n+2)+f(f(f(n)))=4 n+3 ,\]则 $f(2022)=$ _______．

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记 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，已知 $\sin A=\cos B=\tan C$．

1、求 $2 A+C$ 的值．

2、证明：$c>b>\dfrac{2}{5} a$．

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在 $\triangle A B C$ 中，设角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$，$B C$ 边上的高为 $h$，且 $b+c=a+h$．

1、若 $h=\dfrac{2}{3} a$，且 $k \sin A-\cos A=1$，求实数 $k$ 的值．

2、求 $\tan A$ 的最小值．

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给定直角 $\triangle A B C$，其中 $\angle A C B=90^{\circ}$，$ B C=a$，$A C=b$，点 $D, E, F$ 分别在边 $B C, C A,A B$ 上，使得 $\triangle D E F$ 是正三角形，求 $\triangle D E F$ 面积的最小值．

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