Math173

已知函数 $f(x)=x(x-3)^{2}$，若存在 $a<b<c$ 满足 $f(a)=f(b)=f(c)$，$g(x)=f(x)+m$，下列结论正确的是（       ）

A．若 $g(a)=g(b)=g(c)=0$，则 $m \in(-4,0)$

B．$a+b+c=9$

C．$a b c \in(0,4)$

D．$a+b\in (2,3)$

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已知 $O$ 为坐标原点，椭圆 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，上顶点为 $B$，线段 $B F$ 的中垂线交 $C$ 于 $M,N$ 两点，交 $y$ 轴于点 $P$，$ \dfrac{|B P|}{|P O|}=2$，$\triangle B M N$ 的周长为 $16$，则椭圆的标准方程为_______．

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已知双曲线 $C: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>0$，$b>0$）过 $P_{1}(2,0)$，$ P_{2}(0,4)$，$P_{3}(-2 \sqrt{10}, 3)$，$P_{4}(2 \sqrt{10},3)$ 四个点中的三个点．

1、求双曲线 $C$ 的方程．

2、若直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且 $P_{1} A \perp P_{1} B$，求证：直线 $l$ 经过一个不在双曲线 $C$ 上的定点，并求出该定点的坐标．

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已知函数 $f(x)=(\ln x+1) x-m x^{2}+m$．

1、若 $f(x)$ 单调递减，求 $m$ 的取值范围．

2、若 $f^{\prime}(x)$ 的两个零点分别为 $a, b$，且 $2 a<b$，证明：$a b^{2}>\dfrac{32}{\mathrm{e}^{6}}$．

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已知 $x^{\frac{1}{x^{2}}}-a=0$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 上有两个不相等的实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（       ）

A．$\left(0, \dfrac{1}{2 \mathrm{e}}\right]$

B．$\left(0, \dfrac{1}{2 \mathrm{e}}\right)$

C．$\left(1, {\rm e}^{\frac{1}{2 {\rm e}}}\right]$

D．$\left(1, \mathrm{e}^{\frac{1}{2 {\rm e}}}\right)$

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已知函数 $f(x)=\ln \dfrac{x}{\mathrm{e}^2}+\dfrac{a}{x}$，$a \in \mathbb{R}$．

1、讨论 $f(x)$ 在 $[3,5]$ 上的单调性．

2、若 $a=1$，且 $m<n$，$f(m)=f(n)=0$，求证：$2 \mathrm{e}<m+n<\mathrm{e}^2$．

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已知 $F_1, F_2$ 分别为双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右焦点，过 $F_2$ 且倾斜角为 $\theta$ 的直线与双曲线的右支交于 $A, B$ 两点，记 $\triangle A F_1 F_2$ 的内切圆 $O_1$ 的半 径为 $r_1, \triangle B F_1 F_2$ 的内切圆 $O_2$ 的半径为 $r_2$，圆 $O_1$ 的面积为 $S_1$，圆 $O_2$ 的面积为 $S_2$，则（       ）

A．$\theta$ 的取值范围是 $\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5 \pi}{6}\right)$

B．直线 $O_1 O_2$ 与 $x$ 轴垂直

C．若 $r_1+r_2=2$，则 $|AB|=6$

D．$S_1+S_2$ 的取值范围是 $\left[2 \pi, \dfrac{10 \pi}{3}\right)$

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已知函数 $f(x)=a x^2+x-\mathrm{e}^x+1$，其中 $a \in \mathbb{R}$，$\mathrm{e}=2.71828 \cdots$ 是自然对数的底数．

1、若 $a=\dfrac{1}{2}$，证明：当 $x<0$ 时，$f(x)>0$；当 $x>0$ 时，$f(x)<0$．

2、设函数 $g(x)=\cos x-f(x)+1$，若 $x=0$ 是 $g(x)$ 的极大值点，求实数 $a$ 的取值范围． （参考数据：$\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{6}} \approx 0.59$，$\mathrm{e}^{-\frac{\pi}{8}} \approx 0.46$）

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已知 $A, B$ 分别是椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点，若椭圆 $C$ 的短轴长等于焦距，且该椭圆经过点 $(-\sqrt{2}, 1)$．

1、求椭圆 $C$ 的标准方程．

2、过椭圆 $C$ 的右焦点 $F$ 作一条直线交椭圆 $C$ 于 $M, N$（异于 $A, B$ 两点）两点，连接 $A M, A N$ 并延长，分别交直线 $l: x=2 \sqrt{2}$ 于不同的两点 $P, Q$．证明：直线 $M Q$ 与直线 $N P$ 相交于点 $B$．

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设双曲线 $\dfrac{x^2}{16}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$b>0$）的左右两个焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 是双曲线上任意一点，过 $F_1$ 的直线与 $\angle F_1PF_2$ 的平分线垂直，垂足为 $Q$，则点 $Q$ 的轨迹 $E$ 的方程为_______；$M$ 在曲线 $E$ 上，点 $A(8,0)$，$B(5,6)$，则 $\dfrac12|AM|+|BM|$ 的最小值为_______．

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