Math173

已知函数 $f(x)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right) \ln (x+1)$．

1、求曲线 $y=f(x)$ 在 $x=2$ 处切线的斜率．

2、当 $x>0$ 时，证明：$f(x)>1$．

3、证明：$\dfrac{5}{6}<\ln (n !)-\left(n+\dfrac{1}{2}\right) \ln (n)+n \leqslant 1$． 参考数据：$\ln2=0.6931\cdots$，$\ln 3=1.0986\cdots$．

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已知 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，$a_2+a_5=16$，$a_5-a_3=4$．

1、求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式和 $\displaystyle \sum\limits_{i=2^{n-1}}^{2^n-1} a_i$．

2、已知 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列，对于任意 $k \in \mathbb{N}^{\ast}$，若 $2^{k-1} \leqslant n \leqslant 2^k-1$，则 $b_k<a_n<b_{k+1}$．

① 当 $k \geqslant 2$ 时，求证：$2^k-1<b_k<2^k+1$．

② 求 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和．

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设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右顶点分别为 $A_1, A_2$，右焦点为 $F$，已知 $\left|A_1 F\right|=3$，$\left|A_2 F\right|=1$．

1、求椭圆方程及其离心率．

2、已知点 $P$ 是椭圆上一动点（不与端点重合），直线 $A_2 P$ 交 $y$ 轴于点 $Q$，若 $\triangle A_1 P Q$ 的面积是 $\triangle A_2 F P$ 面积的 $2 $ 倍，求直线 $A_2 P$ 的方程．

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若函数 $f(x)=a x^2-2 x-\left|x^2-a x+1\right|$ 有且仅有两个零点，则 $a$ 的取值范围为_______．

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已知 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列，$S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$a_{n+1}=2 S_n+2$，则 $a_4$ 的值为（       ）

A．$3$

B．$18$

C．$54$

D．$152$

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令 $f(x)=\ln x$，作曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_{1} ,f\left(a_{1}\right)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于 $\left(0, a_{2}\right)$，作曲线 $y=f(x)$ 在点 $\left(a_{2} f\left(a_{2}\right)\right)$ 处的切线交 $y$ 轴于 $\left(0, a_{3}\right)$，若 $a_{3}<0$ 则停止，以此类推，得到数列 $\left\{a_{n}\right\}$．

1、若正整数 $m \geqslant 2$，证明 $a_{m}=\ln a_{m-1}-1$．

2、若正整数 $m \geqslant 2$，试比较 $a_{m}$ 与 $a_{m-1}-2$ 的大小．

3、若正整数 $k \geqslant 3$，是否存在 $k$ 使得 $a_{1}, a_{2} ,\cdots, a_{k}$ 依次成等差数列？若存在，求出 $k$ 的所有取值，若不存在，试说明理由．

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曲线 $\Gamma:~ y^{2}=4 x$，第一象限内点 $A$ 在 $\Gamma$ 上，$A$ 的纵坐标是 $a$．

1、若 $A$ 到准线距离为 $ 3$，求 $a$．

2、若 $a=4$，$B$ 在 $x$ 轴上，$A B$ 中点在 $\Gamma$ 上，求点 $B$ 坐标和坐标原点 $O$ 到 $A B$ 距离．

3、直线 $l: ~x=-3$，令 $P$ 是第一象限 $\Gamma$ 上异于 $A$ 的一点，直线 $P A$ 交 $l$ 于 $Q$，$H$ 是 $P$ 在 $l$ 上的投影，若点 $A$ 满足“对于任意 $P$ 都有 $|H Q|>4$”，求 $a$ 的取值范围．

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在平面上，若曲线 $\Gamma$ 具有如下性质：存在点 $M$，使得对于任意点 $P \in \Gamma$，都有 $Q \in \Gamma$ 使得 $|P M| \cdot|Q M|=1$（其中 $|AB|$ 表示点 $A$ 到点 $B$ 的距离），则称这条曲线为"自相关曲线"，则（        ）

 A．所有椭圆都是“自相关曲线"

B．存在椭圆都不是“自相关曲线"

C．所有双曲线都不是“自相关曲线”

D．存在双曲线是“自相关曲线”

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设 $a>0$，函数 $y=\sin x$ 在区间 $[a, 2 a]$ 上的最小值为 $s_{a}$，在 $[2 a, 3 a]$ 上的最小值为 $t_{a}$，当 $a$ 变化时，以下不可能的情形是（        ）

A．$s_{a}>0$ 且 $t_{a}>0$

B．$s_{a}<0$ 且 $t_{a}<0$

C．$s_{a}>0$ 且 $t_{a}<0$

D．$s_{a}<0$ 且 $t_{a}>0$

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空间内存在三点 $A,B,C$，满足 $A B=A C=B C=1$，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与 $A,B,C$ 可以组成正四棱锥，则可以组成的不同的正四棱锥的个数为_______．

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