每日一题[1595]构造函数

设 $a,b,c$ 是非负实数，满足 $a+b+c =8$，$ab+bc+ca=16$．设 $m=\min \{ab,bc,ca\}$，则 $m$ 的最大值为_______．

答案    $\dfrac{16}9$．

解析    不妨设 $a\leqslant b\leqslant c$，根据三次方程的韦达定理，$a,b,c$ 是直线 $y=abc$ 与 $f(x)=x^3-8x^2+16x$ 的公共点的横坐标，设最右侧的公共点为 $P$，如图．

由于 $$m=\min\{ab,bc,ca\}=\dfrac{abc}{\max\{a,b,c\}},$$ 因此 $m$ 的几何意义是直线 $OP$ 的斜率，因此当 $abc=\dfrac{256}{27}$ 时，$m$ 最大，最大值为 $\dfrac{16}9$．