平面内四点两两连线形成的六条线段的长度只有两种不同的取值$a,b$($a>b$)，求$\dfrac ab$的所有可能的值．
分析与解 先不考虑$a>b$，分两种情形讨论．
第一种情形，其中存在三个点$A,B,C$构成正三角形．
此时考虑第四个点$D$到$A,B,C$的距离，只有可能为$(a,a,b),(a,b,b),(b,b,b)$三种，对应的不同情形有四种，如图．此时所对应的比值有$\sqrt 3,\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}2$．
第二种情形，其中不存在任何三点构成正三角形．
此时考虑取其中三点构成的$4$个三角形，必然存在两个三角形全等（因为只有三边长分别为$a,a,b$和$a,b,b$的两种三角形，根据抽屉原理即得）．这两个全等的三角形显然均为等腰三角形，它们或者共底，或者共腰．
若全等的三角形共底$AB$，那么剩余的两个顶点必然在$AB$的垂直平分线上．显然$AC=AD=BC=BD$（否则$AC=AB$或$AD=AB$，将构成等边三角形），进而$AB=CD$（否则$\triangle ACD$为等边三角形），于是四边形$ACBD$为正方形，如图．此时对应的比值为$\sqrt 2$．
若全等的三角形共腰$AB$，此时$C,D$或者关于$AB$对称（筝形），或者关于$AB$的垂直平分线对称（等腰梯形），或者关于$AB$的中点对称（平行四边形）．若$C,D$关于$AB$对称，那么$CD=AB$，则$\triangle ACD$或$\triangle BCD$为等边三角形，矛盾；若$C,D$关于$AB$的垂直平分线对称，则有两种情形；若$C,D$关于$AB$的中点对称，那么$CD=AB$，此时四边形$ACBD$为矩形，且$AC,BC,AB$两两不等，矛盾．此时对应的比值为$\dfrac{\sqrt 5+1}2$．
综上所述，所有可能的$\dfrac ab$的值为$\sqrt 3,\dfrac{\sqrt 6+\sqrt 2}2,\sqrt 2,\dfrac{\sqrt 5+1}2$．