角含半角模型之90°含45°（二）

在角含半角模型之90°含45°（一）中我们知道当$\angle EBF=45^\circ$时，$EB$平分$\angle AEF$；反之，若$EB$平分$\angle AEF$，则$\angle EBF=45^\circ$．证明如下图．作$BH\perp EF$，则$BH=BA=BC$，从而得证．

接下来我们看看这一结论的应用．

例题    正方形$ABCD$中，$M$为边$AD$上一动点（不与$A、D$重合），作等腰梯形$BMNC$，其中$BM\parallel CN$，$BC=MN$，$AB=1$，$AM=x$，$CP=y$，求$y$关于$x$的函数关系式．解    由已知，易得

$$\angle NMB=\angle CBM=\angle AMB，$$ 所以，作$BH\perp MN$，连接$BP$，则 $$BH=AB=BC，$$ 从而得到 $$\angle MBP=45^\circ，$$ 故 $$MP=AM+CP．$$ 在$\mathrm {Rt}\triangle DMP$中，根据勾股定理得 $$(1-x)^2+(1-y)^2=(x+y)^2．$$ 整理得 $$y=\dfrac {1-x}{2x+1}．$$

练习    已知正方形$ABCD$中，$BE=EF$，$FM\perp EF$，求证：$AF+CM=FM$．证明    从结论出发，连接$BF、BM$，作$BH\perp MF$，由已知得

$$\angle EBF =\angle EFB，$$ 所以 $$\angle CBF=\angle MFB =\angle AFB．$$ 从而可以得证．