在角含半角模型之90°含45°（一）中我们知道当\(\angle EBF=45^\circ\)时，\(EB\)平分\(\angle AEF\)；反之，若$EB$平分$\angle AEF$，则$\angle EBF=45^\circ$．证明如下图．作\(BH\perp EF\)，则\(BH=BA=BC\)，从而得证．
接下来我们看看这一结论的应用．
例题 正方形\(ABCD\)中，\(M\)为边\(AD\)上一动点（不与\(A、D\)重合），作等腰梯形\(BMNC\)，其中\(BM\parallel CN\)，\(BC=MN\)，\(AB=1\)，\(AM=x\)，\(CP=y\)，求\(y\)关于\(x\)的函数关系式．
解 由已知，易得\[\angle NMB=\angle CBM=\angle AMB，\] 所以，作\(BH\perp MN\)，连接\(BP\)，
则\[BH=AB=BC，\]从而得到\[\angle MBP=45^\circ，\]故\[MP=AM+CP．\]在\(\mathrm {Rt}\triangle DMP\)中，根据勾股定理得\[(1-x)^2+(1-y)^2=(x+y)^2．\]整理得\[y=\dfrac {1-x}{2x+1}．\]
练习 已知正方形\(ABCD\)中，\(BE=EF\)，\(FM\perp EF\)，求证：\(AF+CM=FM\)．
证明 从结论出发，连接\(BF、BM\)，作\(BH\perp MF\)，
由已知得\[\angle EBF =\angle EFB，\]所以\[\angle CBF=\angle MFB =\angle AFB．\]从而可以得证．