一条结论解决北京28题最后一问

对角线互相垂直的四边形四条边有什么等量关系？ 如图，四边形$ABCD$中，若$AC\perp BD$，则$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$．

① （2015年房山区二模28题第（3）问改）
如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$AB=AC=AD=AE$，$\angle BAC=\angle DAE=90^\circ$，$\triangle DAE$绕着点$A$顺时针旋转，连接$BE,EC,BD,CD$，则线段$DC,BE$与$AC$的数量关系为______．解因为 $$\triangle ABD\cong \triangle AEC,$$ 所以 $$EC\perp BD,$$ 所以 $$DC^2+BE^2=DE^2+BC^2=4AC^2.$$

②（2015年东城区二模28题第（3）问）
如图，在$\triangle ABC$和$\triangle ADE$中，$\angle BAC=\angle DAE=90^\circ$，$AC=6$，$AB=8$，$AD=3$，$AE=4$，$\triangle DAE$绕着点$A$顺时针旋转，连接$CD,CE,BE$，求$BD^2+CE^2$的值．解延长$CD$交$BE$于点$F$，根据已知可得 $$\triangle CAD\backsim \triangle BAE,$$ 所以 $$CD\perp BE.$$ 所以 $$BD^2+CE^2=ED^2+BC^2=125.$$