构造直角三角形解决几何问题

如图，$EFGH$是正方形$ABCD$的内接四边形，$\angle BEG$与$\angle CFH$都是锐角，已知$EG=3$，$FH=4$，四边形$EFGH$的面积为$5$，求正方形$ABCD$的面积．

分析
 由已知可得

$$S_{正方形ABCD}=S_{\triangle AEH}+S_{\triangle EBF}+S_{\triangle FGC}+S_{\triangle GHD}+S_{四边形EFGH}.$$ 再将已知中的$EG$，$FH$利用起来，放在直角三角形中，也可得 $$S_{\triangle DGH}=S_{\triangle MHG}=\dfrac 12S_{矩形DHMG}.$$ 从而 $$\begin{split}S_{正方形ABCD} & =2S_{\triangle EHQ}+2S_{\triangle HPG}+2S_{\triangle GNF}+2S_{\triangle EMF}+S_{矩形MNPQ}\\ &=2S_{四边形HEFG}-S_{矩形MNPQ}.\end{split}$$

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解析 设$AD=a$，$MN=b$，$NP=c$， 根据题意可得

$$b=\sqrt{9-a^2}，c=\sqrt{16-a^2}.$$ 因为$S_{四边形MNPQ}+S_{正方形ABCD}=2S_{四边形EFGH}$，
所以 $$bc+a^2=10,$$ 即 $$\sqrt{9-a^2} \cdot \sqrt{16-a^2}+a^2=10,$$  
解得$a^2=\dfrac{44}{5}$， 
所以正方形$ABCD$的面积为$\dfrac{44}{5}$．