三点一线

已知$O,G,H$分别为$\triangle ABC$的外心、重心和垂心，求证：$O,G,H$三点共线，且$OG=\dfrac 12 GH$．

本题为著名的欧拉线定理，即：
三角形的外心、重心和垂心在一条直线上，且外心和重心的距离是重心和垂心的距离的一半．

欧拉线定理的证明方法多种多样，今天任性的选择一种不常见的方法来证明．我们都知道欧拉线定理中重要的数量关系是通过三角形相似得到的，所谓不常见的方法不过是证相似的方法不同罢了．

证明    连接$AH$，则$AH\perp BC$；取$BC$中点$D$，连接$OD$，则$OD\perp BC$；连接$AD,OH$交于点$G'$，则$\triangle DOG' \sim \triangle AHG'$．
欲证$O,G,H$三点共线，且$OG=\dfrac 12 GH$，
只要证明点$G$与点$G'$重合，$\triangle DOG'$与$\triangle AHG'$的相似比为$1:2$即可．
我们知道三角形的中位线与第三边的比为$1:2$，所以构造中位线$DE$，得$\dfrac {DE}{AB}=\dfrac 12$．
连接$OE,BH$，则$OE \perp AC$，$BH \perp AC$．
由$AH\parallel DO$，$BH\parallel EO$，$AB\parallel DE$，可得$\triangle AHB \sim \triangle DOE$，
所以$\dfrac {OD}{HA}=\dfrac {DE}{AB}=\dfrac 12$，
则$\dfrac {DG'}{AG'}=\dfrac {OG'}{HG'}=\dfrac {DO}{AH}=\dfrac 12$．
由三角形重心的唯一性，可得点$G'$即为重心$G$，
所以$O,G,H$三点共线，且$OG=\dfrac 12 GH$．

注    从本题的证明过程中还可以得到：三角形的一个顶点到垂心的距离，是外心到对边距离的$2$倍．