各有千秋

如图，矩形$ABCD$，$N$为平面内一点，连接$AN,DN$均与$BC$相交，作$CP\perp AN$于点$P$，$BQ\perp DN$于点$Q$，两垂线的交点为$M$，连接$MN$，求证：$MN\perp AD$．

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证法一　辅助圆 如图，连接$AC,BD$交点为$O$，则$A,B,P,Q,C,D$在以$O$为圆心$OA$为半径的圆上，同理，取$MN$中点$O'$，则$P,M,Q,N$在以$O'$为圆心$O'M$为半径的圆上． 所以

$$\angle BQP =\angle PNM=\angle BAP,$$ 所以 $$AB\parallel MN.$$ 所以 $$MN\perp AD.$$

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法二　平移 如图，过$B$作$BE\parallel AN$且$BE=AN$，连结$EN$，则四边形$ABEN$是平行四边形．从而四边形$ENDC$也是平行四边形， 由已知，易得

$$BQ\perp CE,CP\perp BE，$$ 则点$M$为$\triangle EBC$的垂心， 所以 $$ME\perp BC.$$ 因为 $$EN\perp BC,$$ 所以$E,N,M$三点共线， 故 $$MN\perp AD.$$

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法三　勾股定理
如图，平面内一点$P$到矩形四个顶点$A,B,C,D$的距离满足$PA^2+PC^2=PB^2+PD^2$，所以连接$BN,CN$，运用上述结论也可以证明，此种方法运算比较繁琐，不推荐，但是结论需要掌握．