三个臭皮匠顶个诸葛亮

如图，$AB\perp BC$，$AD\parallel BC$，$AB=3$，$AD=2$．点$P$在线段$AB$上，连接$PD$，过点$D$作$PD$的垂线，与$BC$相交于点$C$．设线段$AP$的长为$m$，$\triangle PDC$的面积为$S$，求$S$关于$m$的函数解析式．

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方法一　由$\angle PAD=\angle PDC=90^\circ$，可构造“一线三等角”得相似．如图，过点$C$作$CE\perp AD$于点$E$，则

$$\triangle PAD \sim \triangle DEC.$$ 所以 $$\dfrac {AD}{EC}=\dfrac {PD}{DC},\ {即}DC=\dfrac 32PD.$$ 故 $$S_{\triangle PDC}=\dfrac 12PD\cdot DC=\dfrac 34 m^2+3.$$

方法二　图中线段垂直关系较多，可建立平面直角坐标系，用$m$表示点$C$的坐标，从而由$S=S_{梯形ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}$得$S$关于$m$的函数解析式．

如图，$A(0,3),B(0,0),D(2,3),P(0,3-m)$．
求得直线$PD$解析式为

$$y=\dfrac m2 x+3-m.$$ 由$CD\perp PD$可得直线$CD$解析式为 $$y=-\dfrac 2m x+\dfrac {3m+4}m.$$ 所以$C\left(\dfrac {3m+4}2,0\right)$，则 $$\begin{split}S&=S_{梯形ABCD}-S_{\triangle PAD}-S_{\triangle PBC}\\ &=\dfrac 34 m^2+3.\end{split}$$
显然上述两种方法中，代数方法计算量大易出错，几何方法比较简单．一般一条直线上有两个角相等，可考虑添加辅助线构造“一线三等角”模型．

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练习　如图，在梯形$ABCD$中，$AB\parallel CD$，$AB=2$，$AD=4$，$\tan C=\dfrac 43$，$\angle ADC=\angle DAB=90^\circ$，$P$是腰$BC$上一个动点（不含$B,C$），作$PQ\perp AP$交$CD$于点$Q$．设$BP=x$，$CQ=y$，试求$y$关于$x$的函数解析式．答案　$y=\dfrac{-5x^2+19x+30}{3x+10}$．

提示　过点$P$作$CD$的垂线，交$AB$延长线于点$E$，交$CD$于点$F$．