如图,已知AD为△ABC的角平分线,AB<AC,在AC上截取CE=AB,M,N分别为BC,AE的中点.求证:MN∥AD.
方法一 利用中点构造中位线
连接BE,取BE中点F,连接NF,MF.易证FM∥AC,FN∥AB,FM=FN,
所以∠FNM=∠FMN=∠MNC.而AD为△ABC的角平分线,则∠BAD=∠DAC=∠FNM=∠MNC,所以MN∥AD.
方法二 利用中点中线倍长
连接BN并延长至F,使得NF=BN,连接CF,EF.易证AB∥EF,EF=AB=EC.
所以∠DAC=12∠BAN=12∠FEN=∠ACF.则AD∥CF∥MN.
方法三 利用角平分线将图形翻折
在AC上截取AF=AB,连接BF交AD于点G,则BG=FG.连接MG,易证GM∥AN,GM=12FC=AN.
则四边形AGMN为平行四边形,所以MN∥AD.
练习 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,M,N分别为AD,BC的中点,延长BA,CD,交NM的延长线分别于点E,F,求证∠BEN=∠CFN.提示
方法一:
方法二:
方法三:
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