练习题[2] 导函数练习题

1、已知函数 $$f(x)=\dfrac 12x^2-ax+(a-1)\ln x,a>1$$

（1）讨论函数$f(x)$的单调性；

（2）证明：若$a<5$，则对任意$x_1,x_2\in(0,+\infty)$且$x_1<x_2$，都有 $$\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>-1.$$

 2、（2014年湖南理）已知常数$a>0$，函数 $$f(x)=\ln (1+ax)-\dfrac{2x}{x+2}.$$

（1）讨论$f(x)$在区间$(0,+\infty)$的单调性；

（2）若$f(x)$存在两个极值点$x_1,x_2$，且$f(x_1)+f(x_2)>0$，求$a$的取值范围．

 3、已知函数 $$\begin{split}f(x)&=\dfrac 12x^2+a\ln x\\g(x)&=(a+1)x.\end{split}$$

（1）若函数$f(x),g(x)$在区间$[1,3]$上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数$a$的取值范围；

（2）若$a\in (1,e]$，设$F(x)=f(x)-g(x)$，求证：当$x_1,x_2\in [1,a]$时，不等式$\left|F(x_1)-F(x_2)\right|<1$成立．

参考答案

1、(1)$1<a<2$时，$(0,a-1)$和$(1,+\infty)$上单调递增，$(a-1,1$)上单调递减；

$a=2$时，$(0,+\infty)$上单调递增；

$a>2$时，$(0,1)$和$(a-1,\infty)$上单调递增；$(1,a-1)$上单调递减．

（2）提示：构造函数$f(x)+x$证明其单调性即可．

2、（1）$0<1<1$时，$\left(0,2\sqrt{\dfrac{1-a}a}\right)$上单调递减，$\left(2\sqrt{\dfrac{1-a}a},+\infty\right)$上单调递增；

$a\geqslant 1$时，$(0,+\infty)$上单调递增．
（2）$a$的取值范围是$\left(\dfrac 12,1\right)$．
提示：（2）用$a$表示$f(x_1)+f(x_2)$，然后换元求解．

3、（1）$(-\infty,-9]\cup (-1,+\infty)$

（2）提示：所要求证明的不等式左边即函数$F(x)$的最大值与最小值之差．