练习题[2] 导函数练习题

1、已知函数f(x)=12x2ax+(a1)lnx,a>1

(1)讨论函数f(x)的单调性;

(2)证明:若a<5,则对任意x1,x2(0,+)x1<x2,都有f(x2)f(x1)x2x1>1.

 2、(2014年湖南理)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)2xx+2.

(1)讨论f(x)在区间(0,+)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范围.

 3、已知函数f(x)=12x2+alnxg(x)=(a+1)x.

(1)若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数a的取值范围;

(2)若a(1,e],设F(x)=f(x)g(x),求证:当x1,x2[1,a]时,不等式|F(x1)F(x2)|<1成立.


 

参考答案

1、(1)1<a<2时,(0,a1)(1,+)上单调递增,(a1,1)上单调递减;

a=2时,(0,+)上单调递增;

a>2时,(0,1)(a1,)上单调递增;(1,a1)上单调递减.

(2)提示:构造函数f(x)+x证明其单调性即可.

2、(1)0<1<1时,(0,21aa)上单调递减,(21aa,+)上单调递增;

a1时,(0,+)上单调递增.
(2)a的取值范围是(12,1)
提示:(2)用a表示f(x1)+f(x2),然后换元求解.

3、(1)(,9](1,+)

(2)提示:所要求证明的不等式左边即函数F(x)的最大值与最小值之差.

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