1、已知函数\[f(x)=\dfrac 12x^2-ax+(a-1)\ln x,a>1\]
（1）讨论函数\(f(x)\)的单调性；
（2）证明：若\(a<5\)，则对任意\(x_1,x_2\in(0,+\infty)\)且\(x_1<x_2\)，都有\[\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>-1.\]
2、（2014年湖南理）已知常数\(a>0\)，函数\[f(x)=\ln (1+ax)-\dfrac{2x}{x+2}.\]
（1）讨论\(f(x)\)在区间\((0,+\infty)\)的单调性；
（2）若\(f(x)\)存在两个极值点\(x_1,x_2\)，且\(f(x_1)+f(x_2)>0\)，求\(a\)的取值范围．
3、已知函数\[\begin{split}f(x)&=\dfrac 12x^2+a\ln x\\g(x)&=(a+1)x.\end{split}\]
（1）若函数\(f(x),g(x)\)在区间\([1,3]\)上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数\(a\)的取值范围；
（2）若\(a\in (1,e]\)，设\(F(x)=f(x)-g(x)\)，求证：当\(x_1,x_2\in [1,a]\)时，不等式\(\left|F(x_1)-F(x_2)\right|<1\)成立．
参考答案
1、(1)\(1<a<2\)时，\((0,a-1)\)和\((1,+\infty)\)上单调递增，\((a-1,1\))上单调递减；
\(a=2\)时，\((0,+\infty)\)上单调递增；
\(a>2\)时，\((0,1)\)和\((a-1,\infty)\)上单调递增；\((1,a-1)\)上单调递减．
（2）提示：构造函数\(f(x)+x\)证明其单调性即可．
2、（1）\(0<1<1\)时，\(\left(0,2\sqrt{\dfrac{1-a}a}\right)\)上单调递减，\(\left(2\sqrt{\dfrac{1-a}a},+\infty\right)\)上单调递增；
\(a\geqslant 1\)时，\((0,+\infty)\)上单调递增．
（2）\(a\)的取值范围是\(\left(\dfrac 12,1\right)\)．
提示：（2）用\(a\)表示\(f(x_1)+f(x_2)\)，然后换元求解．
3、（1）\((-\infty,-9]\cup (-1,+\infty)\)
（2）提示：所要求证明的不等式左边即函数\(F(x)\)的最大值与最小值之差．