1、已知函数f(x)=12x2−ax+(a−1)lnx,a>1
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)证明:若a<5,则对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1<x2,都有f(x2)−f(x1)x2−x1>−1.
2、(2014年湖南理)已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)−2xx+2.
(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且f(x1)+f(x2)>0,求a的取值范围.
3、已知函数f(x)=12x2+alnxg(x)=(a+1)x.
(1)若函数f(x),g(x)在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数a的取值范围;
(2)若a∈(1,e],设F(x)=f(x)−g(x),求证:当x1,x2∈[1,a]时,不等式|F(x1)−F(x2)|<1成立.
参考答案
1、(1)1<a<2时,(0,a−1)和(1,+∞)上单调递增,(a−1,1)上单调递减;
a=2时,(0,+∞)上单调递增;
a>2时,(0,1)和(a−1,∞)上单调递增;(1,a−1)上单调递减.
(2)提示:构造函数f(x)+x证明其单调性即可.
2、(1)0<1<1时,(0,2√1−aa)上单调递减,(2√1−aa,+∞)上单调递增;
a⩾1时,(0,+∞)上单调递增.
(2)a的取值范围是(12,1).
提示:(2)用a表示f(x1)+f(x2),然后换元求解.
3、(1)(−∞,−9]∪(−1,+∞)
(2)提示:所要求证明的不等式左边即函数F(x)的最大值与最小值之差.