练习题[28] 代数变形

1、$\left(1-\dfrac 12+\dfrac 13-\dfrac 14+\cdots+\dfrac{1}{2011}-\dfrac{1}{2012}\right)\div\left(\dfrac{1}{1007}+\dfrac{1}{1008}+\cdots+\dfrac{1}{2012}\right)=$_______．

2、$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=$_______．

3、$\dfrac{\left(3^4+4\right)\left(7^4+4\right)\left(11^4+4\right)\cdots\left(39^4+4\right)}{\left(5^4+4\right)\left(9^4+4\right)\left(13^4+4\right)\cdots\left(41^4+4\right)}=$_______．

4、对于任意的实数$x,y,z$，定义运算$\otimes$为：

$$x\otimes y=\dfrac{3x^3y+3x^2y^2+xy^3+45}{(x+1)^3+(y+1)^3-60},$$ 且$x\otimes y\otimes z=\left(x\otimes y\right)\otimes z$，则$2013\otimes 2012\otimes 2011\otimes\cdots \otimes 3\otimes 2=$_______．

5、$\sqrt[3]{\dfrac{\sqrt 5-1}2-\left(\dfrac{\sqrt 5-1}{2}\right)^2}=$_______．

6、$1+\dfrac{1}{\sqrt 2}+\dfrac{1}{\sqrt 3}+\dfrac{1}{\sqrt 4}+\cdots+\dfrac{1}{\sqrt{100}}$的整数部分为_______．

7、已知$x=\sqrt[3] 9+\sqrt [3] 3+1$，则$\left(\dfrac{2}{x}+1\right)^3=$_______．

8、已知$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2}+\sqrt[3]{x^2+x}+\sqrt[3]{x^2}}$，则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(511)=$_______．

9、已知$x-y=6$，$\sqrt{x^2-xy}+\sqrt{xy-y^2}=9$，则$\sqrt{x^2-xy}-\sqrt{xy-y^2}=$_______．

10、$\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}=1$，则$\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}=$_______．

11、已知$abc=1$，且

$$\begin{cases}\dfrac{by}{z}+\dfrac{cz}y=a,\\\dfrac{cz}{x}+\dfrac{ax}z=b,\\\dfrac{ax}y+\dfrac{by}x=c,\end{cases}$$ 则$a^3+b^3+c^3=$_______．

12、$abc=1$，则$\dfrac{a}{ab+a+1}+\dfrac{b}{bc+b+1}+\dfrac{c}{ca+c+1}=$_______．

13、已知$a,b,c,d$均不为$0$，且互不相等，若

$$a+\dfrac 1b=b+\dfrac 1c=c+\dfrac 1d=d+\dfrac 1a,$$ 则$a^2b^2c^2d^2=$_______．

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参考答案

1、$1$ 提示    将被除数中的$-\dfrac{1}{2k}$拆为$\dfrac 1{2k}-\dfrac 1k$即得．

2、$2$ 提示    令原式值为$x$，则解方程$\sqrt{2+x}=x$即得．

3、$\dfrac{1}{353}$ 提示    $x^4+4=\left(x^2+2\right)^2-(2x)^2=\left[(x-1)^2+1\right]\cdot\left[(x+1)^2+1\right]$．

4、$\dfrac{5463}{967}$ 提示    $x\otimes 3=9$．

5、$\dfrac{\sqrt 5-1}{2}$ 提示    $\dfrac{\sqrt 5-1}2$是方程$x^2+x-1=0$的根，于是$x^3+x^2-x=0$．

6、$18$ 提示    $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}<\dfrac{1}{2\sqrt n}<\sqrt n-\sqrt{n-1}$．

7、$3$ 提示    利用立方差公式．

8、$7$ 提示    $f(x)=\sqrt[3]{x+1}-\sqrt[3]{x}$．

9、$4$ 提示    利用平方差公式．

10、$0$ 提示    原式即

$$\left(\dfrac{x}{y+z}+\dfrac{y}{z+x}+\dfrac{z}{x+y}\right)(x+y+z)-\cdots,$$ 而多出来的部分恰好为$x+y+z$．

11、$5$ 提示    三式相乘可整理得

$$abc=\sum_{cyc}{a\left(\dfrac{by}z+\dfrac{cz}y\right)^2}-4abc.$$

12、$1$ 提示    消元即可．

13、$1$ 提示    $a-b=\dfrac{c-b}{bc}$，轮换相乘即得．