练习题[25] 提高练习

1、若$f(x)$和$g(x)$都是定义在实数集$\mathcal R$上的函数，且方程$x-f(g(x))=0$有实数解，则$g(f(x))$不可能是（        ）

A．$x^2+x-\dfrac 15$

B．$x^2+x+\dfrac 15$

C．$x^2-\dfrac 15$

D．$x^2+\dfrac  15$

2、在边长为$1$的正六边形$ABCDEF$中，记以$A$为起点，其余顶点为终点的向量分别为$\vec a_i$（$i=1,2,3,4,5$）；以$D$为起点，其余顶点为终点的向量分别为$\vec d_i$（$i=1,2,3,4,5$）．若$m$、$M$分别为$\left(\vec a_i+\vec a_j+\vec a_k\right)\cdot\left(\vec d_r+\vec d_s+\vec d_t\right)$的最小值、最大值，其中$\left\{i,j,k\right\}\subseteq\left\{1,2,3,4,5\right\}$，$\left\{r,s,t\right\}\subseteq\left\{1,2,3,4,5\right\}$，则（        ）

A．$0=m<M$

B．$m<0<M$

C．$m<M=0$

D．$m<M<0$

3、已知$a>0$且$a\neq 1$，$f(x)=x^2-a^x$．若对任意$x\in (-1,1)$，均有$f(x)<\dfrac 12$，则$a$的取值范围是_______．

4、设$m,k$为整数，关于$x$的方程$mx^2-kx+2=0$在区间$(0,1)$上有两个不同实根，则$m+k$的最小值是_______．

5、如果钝角三角形$ABC$的三个内角的大小成等差数列，则其最大边与最小边的比的取值范围是_______．

6、能被$3$整除的没有重复数字的六位数的个数为_______．

7、圆周上有$n$个点（$n\geqslant 4$且$n\in\mathcal N$），将这些点两两连接成弦，则这些弦将圆至多划分成的区域数为_______．

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参考答案

1、B．

提示    若$m$是方程$x-f(g(x))=0$的解，则$m=f(g(m))$，于是$g(m)=g(f(g(m)))$，因此$g(m)$是方程$x=g(f(x))$的解．

2、D．

提示    考虑进行数量积的两个向量的夹角即可．

3、$\left[\dfrac 12,1\right)\cup\left(1,2\right]$．

提示    分析端点，可知

$$f(-1)<\frac 12\land f(1)<\frac 12,$$ 解得 $$\frac 12\leqslant a<1\lor 1<a\leqslant 2.$$ 再证明充分性即可．

4、$13$．

提示    分离参数$k=mx+\dfrac 2x$，于是问题等价于区间$\left(2\sqrt{2m},m+2\right)$长度大于$1$．

5、$(2,+\infty)$．

提示   一个内角为$60^\circ$，此时固定一条边长度为$1$进行构图即得．

6、$46800$．

提示    按是否含有$0$分为两类计算．

7、${\rm C}_n^2+{\rm C}_n^4+1$．

提示    平面被划分的区域数为交点个数与直线条数的和再加上$1$．