练习题[24] 2015年高考题集锦

1、（2015年·天津·理14）在等腰梯形$ABCD$中，已知$AB\parallel DC$，$AB=2$，$BC=1$，$\angle ABC=60^\circ$．动点$E$和$F$分别在线段$BC$和$DC$上，且$\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{DF}=\dfrac{1}{9\lambda}\overrightarrow{DC}$，则$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}$的最小值为_______．

2、（2015年·广东·理8）若空间中$n$个不同的点两两距离都相等，则正整数$n$的取值（        ）

A．至多等于$3$ 

B．至多等于$4$

C．等于$5$

D．大于$5$

3、（2015年·山东·理10）设函数$f(x)=\begin{cases}3x-1,&x<1,\\2^x,&x\geqslant 1,\end{cases}$则满足$f(f(a))=2^{f(a)}$的$a$的取值范围是（        ）

A．$\left[\dfrac 23,1\right]$

B．$[0,1]$

C．$\left[\dfrac 23,+\infty\right)$

D．$[1,+\infty)$

4、（2015年·山东·理15）平面直角坐标系$xOy$中，双曲线$C_1:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的渐近线与抛物线$C_2:x^2=2py$（$p>0$）交于$O$、$A$、$B$，若三角形$OAB$的垂心为$C_2$的焦点，则$C_1$的离心率为________．

5、（2015年·安徽·理10）已知函数$f(x)=A\sin\left(\omega x+\varphi\right)$（$A$，$\omega$，$\varphi$均为正的常数）的最小正周期为$\pi$，当$x=\dfrac{2\pi}3$时，函数$f(x)$取得最小值，则下列结论正确的是（        ）

A．$f(2)<f(-2)<f(0)$

B．$f(0)<f(2)<f(-2)$

C．$f(-2)<f(0)<f(2)$

D．$f(2)<f(0)<f(-2)$

6、（2015年·福建·理10）若定义在$\mathcal R$上的函数$f(x)$满足$f(0)=-1$，其导函数$f'(x)$满足$f'(x)>k>1$，则下列结论中一定错误的是（        ）

A．$f\left(\dfrac 1k\right)<\dfrac 1k$

B．$f\left(\dfrac 1k\right)>\dfrac 1{k-1}$

C．$f\left(\dfrac 1{k-1}\right)<\dfrac 1{k-1}$

D．$f\left(\dfrac 1{k-1}\right)>\dfrac k{k-1}$

7、（2015年·福建·理15）一个二元码是由$0$和$1$组成的数字串$x_1x_2\cdots x_n$（$n\in\mathcal N^*$），其中$x_k$（$k=1,2,\cdots,n$）称为第$k$位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由$0$变为$1$，或者由$1$变为$0$）．

已知某种二元码$x_1x_2\cdots x_7$的码元满足如下校验方程组： $$\begin{cases}x_4\oplus x_5\oplus x_6\oplus x_7=0,\\x_2\oplus x_3\oplus x_6\oplus x_7=0,\\x_1\oplus x_3\oplus x_5\oplus x_7=0,\end{cases}$$ 其中运算“$\oplus$”定义为：$0\oplus 0=0$，$0 \oplus 1=1$，$1 \oplus 0=1$，$1\oplus 1=0$．

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第$k$位发生码元错误后变成了$1101101$，那么利用上述校验方程组可判定$k$等于_______．

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参考答案

1、$\dfrac{29}{18}$

2、B    提示    $n$个点中的任意$3$个都能构成正三角形

3、C    提示    记$t=f(a)$，则$f(t)=2^t$，于是可得$t\geqslant 1$，进而可解得$a\geqslant \dfrac 23$

4、$\dfrac 32$ 

5、A

6、C    提示    构造函数$g(x)=f(x)-kx+1$，则$g(0)=0$且$g'(x)>0$，于是当$x>0$时，$g(x)>0$．

7、$5$    提示    根据运算“$\oplus$”的定义（实际上就是异或XOR），有$x_1\oplus x_2 \oplus \cdots \oplus x_n$（$n\in\mathcal N^*$且$n\geqslant 2$）当$x_1,x_2,\cdots,x_n$中有奇数个$1$时值为$1$，偶数个$1$时值为$0$．

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注    第7题主要讲述的是信息学中有关校验位的事情．