1、已知抛物线\(y=\dfrac 14x^2\)和\(y=-\dfrac 1{16}x^2+5\)所围成的封闭曲线如图所示，给定点\(A(0,a)\)，若在此封闭曲线上恰有三对不同的店，满足对每一对点关于点\(A\)对称，则实数\(a\)的取值范围是_______．
2、已知四面体\(ABCD\)的一条棱长为\(x\)，其余棱长均为\(1\)，记四面体\(ABCD\)的体积为\(F(x)\)，则函数\(F(x)\)的单调增区间是_______；最大值为_______．
3、设\(f(x)=\begin{cases}x^3,x<a,\\x&2,x\geqslant a.\end{cases}\)若存在实数\(b\)，使得函数\(g(x)=f(x)-b\)有两个零点，则\(a\)的取值范围是_______．
4、设\(n\in\mathcal N^*\)，函数\(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^n}\)，函数\(g(x)=\dfrac{{\mathrm e}^x}{x^n},x\in (0,+\infty)\)．
（1）当\(n=1\)时，写出函数\(y=f(x)-1\)的零点个数，并说明理由；
（2）若曲线\(y=f(x)\)与曲线\(y=g(x)\)分别位于直线\(l:y=1\)的两侧，求\(n\)的所有可能取值．
5、设\(F_1\)、\(F_2\)分别为椭圆\(E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)\)的左、右焦点，点\(P\left(1,\dfrac 32\right)\)在椭圆\(E\)上，且点\(P\)和\(F_1\)关于点\(C\left(0,\dfrac 34\right)\)对称．
（1）求椭圆\(E\)的方程；
（2）过右焦点\(F_2\)的直线\(l\)与椭圆相交于\(A\)、\(B\)两点，过\(P\)且平行于\(AB\)的直线与椭圆交于另一点\(Q\)，问是否存在直线\(l\)，使得四边形\(PABQ\)的对角线互相平分？若存在，求出\(l\)的方程；若不存在，说明理由．
6、已知点列\(T:P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\cdots,P_k(x_k,y_k)\)（\(k\in\mathcal N^*,k\geqslant 2\)）满足\(P_1(1,1)\)，且\(\begin{cases}x_i=x_{i-1}+1,\\y_i=y_{i-1}\end{cases}\)与\(\begin{cases}x_i=x_{i-1},\\y_i=y_{i-1}+1\end{cases}\)（\(i=2,3,\cdots,k\)）中有且仅有一个成立．
（1）写出满足\(k=4\)且\(P_4(3,2)\)的所有点列；
（2）证明：对于任意给定的\(k(k\in\mathcal N^*,k\geqslant 2)\)，不存在点列\(T\)，使得\(\sum\limits_{i=1}^k{x_i}+\sum\limits_{i=1}^k{y_i}=2^k\)；
（3）当\(k=2n-1\)且\(P_{2n-1}(n,n)(n\in\mathcal N^*,n\geqslant 2)\)时，求\(\sum\limits_{i=1}^k{x_i}\times\sum\limits_{i=1}^k{y_i}\)的最大值．
7、有限数列\(A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n(n\geqslant 3)\)同时满足于下列两个条件：
① 对于任意的\(i,j\)（\(1\leqslant i<j\leqslant n\)），\(a_i<a_j\)；
② 对于任意的\(i,j,k\)（\(1\leqslant i<j<k\leqslant n\)，\(a_ia_j\)、\(a_ja_k\)、\(a_ka_i\)三个数中至少有一个数是数列\(A_n\)中项．
（1）若\(n=4\)，且\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，\(a_3=a\)，\(a_4=6\)，求\(a\)的值；
（2）证明：\(2,3,5\)不可能是数列\(A_n\)中的项；
（3）求\(n\)的最大值．
参考答案
1、D．
2、\(\left(0,\dfrac{\sqrt 6}{2}\right)\)．
提示：\(F(x)=\dfrac{1}{12}x\sqrt{3-x^2}\)．
3、\(b\in (-\infty,0)\cup (1,+\infty)\)．
4、（1）\(0\)个；（2）\(n\in\left\{1,2\right\}\)．
5、（1）\(E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1\)；（2）\(l:3x-4y-3=0\)．
6、（1）（2）略；（3）\(\left[\dfrac 14(n+1)^2(2n-1)^2\right]\)．
7、（1）\(a=3\)；（2）略；（3）\(n\)的最大值是\(9\)．
提示：（3）数列中绝对值大于\(1\)和在\((0,1)\)内的项的个数均至多有\(3\)项，再加上\(-1,0,1\)，构造例子为\[A_9:-4,-2,-1,-\dfrac 12,0,\dfrac 14,\dfrac 12,1,2.\]