1、已知抛物线y=14x2和y=−116x2+5所围成的封闭曲线如图所示，给定点A(0,a)，若在此封闭曲线上恰有三对不同的店，满足对每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是_______．
2、已知四面体ABCD的一条棱长为x，其余棱长均为1，记四面体ABCD的体积为F(x)，则函数F(x)的单调增区间是_______；最大值为_______．
3、设f(x)={x3,x<a,x2,x⩾若存在实数b，使得函数g(x)=f(x)-b有两个零点，则a的取值范围是_______．
4、设n\in\mathcal N^*，函数f(x)=\dfrac{\ln x}{x^n}，函数g(x)=\dfrac{{\mathrm e}^x}{x^n},x\in (0,+\infty)．
（1）当n=1时，写出函数y=f(x)-1的零点个数，并说明理由；
（2）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)分别位于直线l:y=1的两侧，求n的所有可能取值．
5、设F_1、F_2分别为椭圆E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)的左、右焦点，点P\left(1,\dfrac 32\right)在椭圆E上，且点P和F_1关于点C\left(0,\dfrac 34\right)对称．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过右焦点F_2的直线l与椭圆相交于A、B两点，过P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线l，使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．
6、已知点列T:P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\cdots,P_k(x_k,y_k)（k\in\mathcal N^*,k\geqslant 2）满足P_1(1,1)，且\begin{cases}x_i=x_{i-1}+1,\\y_i=y_{i-1}\end{cases}与\begin{cases}x_i=x_{i-1},\\y_i=y_{i-1}+1\end{cases}（i=2,3,\cdots,k）中有且仅有一个成立．
（1）写出满足k=4且P_4(3,2)的所有点列；
（2）证明：对于任意给定的k(k\in\mathcal N^*,k\geqslant 2)，不存在点列T，使得\sum\limits_{i=1}^k{x_i}+\sum\limits_{i=1}^k{y_i}=2^k；
（3）当k=2n-1且P_{2n-1}(n,n)(n\in\mathcal N^*,n\geqslant 2)时，求\sum\limits_{i=1}^k{x_i}\times\sum\limits_{i=1}^k{y_i}的最大值．
7、有限数列A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n(n\geqslant 3)同时满足于下列两个条件：
① 对于任意的i,j（1\leqslant i<j\leqslant n），a_i<a_j；
② 对于任意的i,j,k（1\leqslant i<j<k\leqslant n，a_ia_j、a_ja_k、a_ka_i三个数中至少有一个数是数列A_n中项．
（1）若n=4，且a_1=1，a_2=2，a_3=a，a_4=6，求a的值；
（2）证明：2,3,5不可能是数列A_n中的项；
（3）求n的最大值．
参考答案
1、D．
2、\left(0,\dfrac{\sqrt 6}{2}\right)．
提示：F(x)=\dfrac{1}{12}x\sqrt{3-x^2}．
3、b\in (-\infty,0)\cup (1,+\infty)．
4、（1）0个；（2）n\in\left\{1,2\right\}．
5、（1）E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1；（2）l:3x-4y-3=0．
6、（1）（2）略；（3）\left[\dfrac 14(n+1)^2(2n-1)^2\right]．
7、（1）a=3；（2）略；（3）n的最大值是9．
提示：（3）数列中绝对值大于1和在(0,1)内的项的个数均至多有3项，再加上-1,0,1，构造例子为A_9:-4,-2,-1,-\dfrac 12,0,\dfrac 14,\dfrac 12,1,2.