练习题[19] 创新能力培养基础练习

1、已知抛物线$y=\dfrac 14x^2$和$y=-\dfrac 1{16}x^2+5$所围成的封闭曲线如图所示，给定点$A(0,a)$，若在此封闭曲线上恰有三对不同的店，满足对每一对点关于点$A$对称，则实数$a$的取值范围是_______．

 2、已知四面体$ABCD$的一条棱长为$x$，其余棱长均为$1$，记四面体$ABCD$的体积为$F(x)$，则函数$F(x)$的单调增区间是_______；最大值为_______．

3、设$f(x)=\begin{cases}x^3,x<a,\\x&2,x\geqslant a.\end{cases}$若存在实数$b$，使得函数$g(x)=f(x)-b$有两个零点，则$a$的取值范围是_______．

4、设$n\in\mathcal N^*$，函数$f(x)=\dfrac{\ln x}{x^n}$，函数$g(x)=\dfrac{{\mathrm e}^x}{x^n},x\in (0,+\infty)$．

（1）当$n=1$时，写出函数$y=f(x)-1$的零点个数，并说明理由；

（2）若曲线$y=f(x)$与曲线$y=g(x)$分别位于直线$l:y=1$的两侧，求$n$的所有可能取值．

5、设$F_1$、$F_2$分别为椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点，点$P\left(1,\dfrac 32\right)$在椭圆$E$上，且点$P$和$F_1$关于点$C\left(0,\dfrac 34\right)$对称．

（1）求椭圆$E$的方程；

（2）过右焦点$F_2$的直线$l$与椭圆相交于$A$、$B$两点，过$P$且平行于$AB$的直线与椭圆交于另一点$Q$，问是否存在直线$l$，使得四边形$PABQ$的对角线互相平分？若存在，求出$l$的方程；若不存在，说明理由．

6、已知点列$T:P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),\cdots,P_k(x_k,y_k)$（$k\in\mathcal N^*,k\geqslant 2$）满足$P_1(1,1)$，且$\begin{cases}x_i=x_{i-1}+1,\\y_i=y_{i-1}\end{cases}$与$\begin{cases}x_i=x_{i-1},\\y_i=y_{i-1}+1\end{cases}$（$i=2,3,\cdots,k$）中有且仅有一个成立．

（1）写出满足$k=4$且$P_4(3,2)$的所有点列；

（2）证明：对于任意给定的$k(k\in\mathcal N^*,k\geqslant 2)$，不存在点列$T$，使得$\sum\limits_{i=1}^k{x_i}+\sum\limits_{i=1}^k{y_i}=2^k$；

（3）当$k=2n-1$且$P_{2n-1}(n,n)(n\in\mathcal N^*,n\geqslant 2)$时，求$\sum\limits_{i=1}^k{x_i}\times\sum\limits_{i=1}^k{y_i}$的最大值．

7、有限数列$A_n:a_1,a_2,\cdots,a_n(n\geqslant 3)$同时满足于下列两个条件：

① 对于任意的$i,j$（$1\leqslant i<j\leqslant n$），$a_i<a_j$；

② 对于任意的$i,j,k$（$1\leqslant i<j<k\leqslant n$，$a_ia_j$、$a_ja_k$、$a_ka_i$三个数中至少有一个数是数列$A_n$中项．

（1）若$n=4$，且$a_1=1$，$a_2=2$，$a_3=a$，$a_4=6$，求$a$的值；

（2）证明：$2,3,5$不可能是数列$A_n$中的项；

（3）求$n$的最大值．

---

参考答案

1、D．

2、$\left(0,\dfrac{\sqrt 6}{2}\right)$．

提示：$F(x)=\dfrac{1}{12}x\sqrt{3-x^2}$．

3、$b\in (-\infty,0)\cup (1,+\infty)$．

4、（1）$0$个；（2）$n\in\left\{1,2\right\}$．

5、（1）$E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$；（2）$l:3x-4y-3=0$．

6、（1）（2）略；（3）$\left[\dfrac 14(n+1)^2(2n-1)^2\right]$．

7、（1）$a=3$；（2）略；（3）$n$的最大值是$9$．

提示：（3）数列中绝对值大于$1$和在$(0,1)$内的项的个数均至多有$3$项，再加上$-1,0,1$，构造例子为 $$A_9:-4,-2,-1,-\dfrac 12,0,\dfrac 14,\dfrac 12,1,2.$$