1.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部分,虚线分别表示正方形、圆、正三角形和圆)的周率从左到右依次记为τ1,τ2,τ3,τ4,则它们从小到大的排列为_______.
2.已知x,y,z>0,且1x+1y+1z=1,则xyz+yzx+zxy的最小值是_______.
3.直线l1,l2分别是函数f(x)=sinx,x∈[0,π]上A,B两点处的切线,且l1⊥l2.求l1,l2与y轴围成的三角形的面积.
4.等腰三角形的腰长为a,一腰上的高为h,则以底边为边长的正方形的面积是________.
5.设复数z满足2017z−25z−2017=3+4i,则|z|=______.
6.求3cos2π5−cosπ5的值.
7.如图,一块材质均匀的圆形金属薄片(不计厚度)用圆域x2+y2⩽64表示,从中挖掉两个小圆洞分别用圆域(x+2)2+(y−4)2⩽4和(x−3)2+(y+2)2⩽9表示(圆心依次为A,B),则剩下部分的重心的坐标是______.
参考答案
1.τ1,τ3,τ2,τ4.
容易计算得τ1=2√2,τ2=π,τ3=3,τ4=2√3.
2.1;
由均值不等式,可得∑cycxyz=∑cyc12(xyz+yzx)⩾∑cyc1z=1,
3.14π2;
不妨设A的横坐标小于B的横坐标.由于函数f(x)的导函数f′(x)=cosx,
4.2a2±a√4a2−h2.
设底边长为x,则半周长p=a+x2,于是由海伦公式得√(a+x2)⋅x2⋅x2⋅(a−x2)=12⋅a⋅h,
另法 设等腰三角形顶角为θ,则有sinθ=ha,从而有S=(2asinθ2)2=2a2(1−cosθ)=2a2(1±√a2−h2a).
5.5.
设x=3+4i,则有2017z−25=xz−2017x,
注 事实上,我们有z=¯x−20172017−x⋅x,
6.−2+√52;
由cosπ5+cos3π5+cos5π5+cos7π5+cos9π5=0,
7.(−1951,251).
相当于圆心为O(0,0),重量为64的金属片上覆盖了圆心为A(−2,4),重量为−4的金属片以及圆心为B(3,−2),重量为−9的金属片,其重心坐标为G(64⋅0−4⋅(−2)−9⋅364−4−9,64⋅0−4⋅4−9⋅(−2)64−4−9),
注 此即定比分点坐标公式(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ)