练习题集[95]基础练习

1.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”,封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”,下面四个平面区域(阴影部分,虚线分别表示正方形、圆、正三角形和圆)的周率从左到右依次记为τ1,τ2,τ3,τ4,则它们从小到大的排列为_______.

2.已知x,y,z>0,且1x+1y+1z=1,则xyz+yzx+zxy的最小值是_______.

3.直线l1,l2分别是函数f(x)=sinx,x[0,π]A,B两点处的切线,且l1l2.求l1,l2y轴围成的三角形的面积.

4.等腰三角形的腰长为a,一腰上的高为h,则以底边为边长的正方形的面积是________.

5.设复数z满足2017z25z2017=3+4i,则|z|=______.

6.求3cos2π5cosπ5的值.

7.如图,一块材质均匀的圆形金属薄片(不计厚度)用圆域x2+y264表示,从中挖掉两个小圆洞分别用圆域(x+2)2+(y4)24(x3)2+(y+2)29表示(圆心依次为A,B),则剩下部分的重心的坐标是______.


参考答案

1.τ1,τ3,τ2,τ4

容易计算得τ1=22τ2=πτ3=3τ4=23

2.1

由均值不等式,可得cycxyz=cyc12(xyz+yzx)cyc1z=1,

等号当x=y=z=3时取得,于是所求最小值为1

3.14π2

不妨设A的横坐标小于B的横坐标.由于函数f(x)的导函数f(x)=cosx,

其值域为[1,1].于是A,B的横坐标分别为0,π.因此l1:y=xl2:y=x+π.因此所求的三角形面积为14π2

4.2a2±a4a2h2

设底边长为x,则半周长p=a+x2,于是由海伦公式得(a+x2)x2x2(ax2)=12ah,

x2(4a2x2)=4a2h2,
也即x44a2x2+4a2h2=0,
解得x2=2a2±2aa2h2.

另法 设等腰三角形顶角为θ,则有sinθ=ha,从而有S=(2asinθ2)2=2a2(1cosθ)=2a2(1±a2h2a).

5.5

x=3+4i,则有2017z25=xz2017x,

于是z=252017x2017x,
从而z¯z=(252017x)(252017¯x)(2017x)(2017¯x)=252201725(x+¯x)+2017225201722017(x+¯x)+25=25,
因此|z|=5

 事实上,我们有z=¯x20172017xx,

于是|z|=|x|=5

6.2+52

cosπ5+cos3π5+cos5π5+cos7π5+cos9π5=0,

可得cosπ5cos2π5=12.
cosπ5cos2π5=sinπ5cosπ5cos2π5sinπ5=14.
于是3cos2π5cosπ5=2(cosπ5cos2π5)+(cosπ5+cos2π5)=1+(12)2+414=2+52.

7.(1951,251)

相当于圆心为O(0,0),重量为64的金属片上覆盖了圆心为A(2,4),重量为4的金属片以及圆心为B(3,2),重量为9的金属片,其重心坐标为G(6404(2)936449,640449(2)6449),

G(1951,251)

 此即定比分点坐标公式(x1+λx21+λ,y1+λy21+λ)

的升级版,也是重心坐标公式(x1+x2+x33,y1+y2+y33)
的加权版.

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