1.函数y=5+x−√3⋅√−x2+10x−9,x∈[1,9]的值域是_.
2.已知两个不相等的非零平面向量→a,→b满足|→b|=1,且→a与→b−→a的夹角为120∘,则|→a|的取值范围是_.
3.设x,y∈R,且x2+y2=1,x3+y3=1,求证:xn+yn=1,其中n∈N∗.
4.分解因式:x4+3x3+92x2+3x+1.
5.已知a,b,c∈R,b2+c2=1,函数f(x)=ax+bsinx+ccosx的图象上存在两条互相垂直的切线,求a+b+c的取值范围.
6.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32,过右焦点且斜率为k的直线与E相交于A,B两点.若→AF=3→BF,则k=_.
7.设a,b,c是[0,1]上的随机数,求a,b,c是某个三角形三边的长度的概率.
参考答案
1.[2,14].
三角换元 因为y=5+x−√3⋅√−(x−5)2+16,所以令x=5+4cosθ,θ∈[0,π],则y=10+4cosθ−4√3sinθ=10+8sin(θ+5π6)∈[2,14].
2.(0,2√33].
记→OA=→a,→OB=→b,则由正弦定理知1sin60∘=|→a|sinA,所以|→a|=2√33sinA∈(0,2√33].
3.由于x2+y2−x3−y3=x2(1−x)+y2(1−y)=0,而x,y∈[−1,1],因此x2(1−x)=y2(1−y)=0,从而xy=0,命题得证.
4.方法一 令t=x+1x,则原式即x2(x2+3x+92+3x+1x2)=x2(t2+3t+52)=x2(t+32+12i)(t+32−12i)=(x2+3+i2x+1)(x2+3−i2x+1)=(x+1+i)(x+1−i2)(x+1−i)(x+1+i2)=(x2+2x+2)(x2+x+12).
方法二 设原式为f(x),则f(1x)=f(x),因此f(x)=(ax2+bx+c)(a+bx+cx2),从而{ac=1,(a+c)b=3,a2+b2+c2=92,解得{a=√22,b=√2,c=√2,因此原式等于(x2+2x+2)(x2+x+12).
5.[−√2,√2].
令b=cosθ,c=sinθ,则有f′(x)=a+cos(θ+x)∈[a−1,a+1].由题意知∃x1,x2,使得f′(x1)f′(x2)=−1,所以(a-1)(a+1)\leqslant -1,从而得到a=0.
6.\pm \sqrt 2.
提示 利用椭圆的第二定义.
7.如图,事件空间由正方体的表面及平面ODE:a+b-c=0,ODF:a-b+c=0和OEF:-a+b+c=0围成,为四面体O-DEF和四面体G-DEF的并集.容易求得,所求的概率为\dfrac 12.
第二题解答,应当是sinA吧
是的,已改,谢谢