练习题集[87]基础练习

1．函数$y=5+x-\sqrt{3}\cdot \sqrt{-x^2+10x-9}$，$x\in [1,9]$的值域是$\underline{\qquad\qquad}$．

2．已知两个不相等的非零平面向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$满足$\Big|\overrightarrow b\Big|=1$，且$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b-\overrightarrow a$的夹角为$120^\circ$，则$\Big|\overrightarrow a\Big|$的取值范围是$\underline{\qquad\qquad}$．

3．设$x,y\in \mathbf R$，且$x^2+y^2=1$，$x^3+y^3=1$，求证：$x^n+y^n=1$，其中$n\in\mathbf N^*$．

4．分解因式：$x^4+3x^3+\dfrac 92x^2+3x+1$．

5．已知$a,b,c\in\mathbf R$，$b^2+c^2=1$，函数$f(x)=ax+b\sin x+c\cos x$的图象上存在两条互相垂直的切线，求$a+b+c$的取值范围．

6．已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$，过右焦点且斜率为$k$的直线与$E$相交于$A,B$两点．若$\overrightarrow {AF}=3\overrightarrow {BF}$，则$k=\underline{\qquad\qquad}$．

7．设$a,b,c$是$[0,1]$上的随机数，求$a,b,c$是某个三角形三边的长度的概率．

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参考答案

1．$[2,14]$．

三角换元　因为$y=5+x-\sqrt 3\cdot\sqrt{-(x-5)^2+16}$，所以令

$$x=5+4\cos\theta,\theta\in[0,\pi],$$ 则 $$y=10+4\cos\theta-4\sqrt 3\sin\theta=10+8\sin\left(\theta+\dfrac{5\pi}{6}\right)\in[2,14].$$

2．$\left(0,\dfrac{2\sqrt 3}3\right]$．

记$\overrightarrow {OA}=\overrightarrow {a},\overrightarrow {OB}=\overrightarrow {b}$，则由正弦定理知$\dfrac 1{\sin 60^\circ}=\dfrac{|\overrightarrow {a}|}{\sin A}$，所以$|\overrightarrow {a}|=\dfrac {2\sqrt 3}{3}\sin A\in\left(0,\dfrac{2\sqrt 3}{3}\right]$．

3．由于$x^2+y^2-x^3-y^3=x^2(1-x)+y^2(1-y)=0$，而$x,y\in [-1,1]$，因此$x^2(1-x)=y^2(1-y)=0$，从而$xy=0$，命题得证．

4．方法一　令$t=x+\dfrac 1x$，则原式即

$$\begin{split} x^2\left(x^2+3x+\dfrac 92+\dfrac 3x+\dfrac 1{x^2}\right)&=x^2\left(t^2+3t+\dfrac 52\right)\\&=x^2\left(t+\dfrac 32+\dfrac 12{\rm i}\right)\left(t+\dfrac 32-\dfrac 12{\rm i}\right) \\&=\left(x^2+\dfrac {3+{\rm i}}2x+1\right)\left(x^2+\dfrac{3-{\rm i}}2x+1\right) \\&=\left(x+1+{\rm i}\right)\left(x+\dfrac{1-{\rm i}}2\right)\left(x+1-{\rm i}\right)\left(x+\dfrac{1+{\rm i}}2\right)\\&=\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2+x+\dfrac 12\right).\end{split}$$

方法二　设原式为$f(x)$，则$f\left(\dfrac 1x\right)=f(x)$，因此

$$f(x)=\left(ax^2+bx+c\right)\left(a+bx+cx^2\right),$$ 从而 $$\begin{cases} ac=1,\\(a+c)b=3,\\ a^2+b^2+c^2=\dfrac 92,\end{cases}$$ 解得 $$\begin{cases}a=\dfrac{\sqrt 2}2,\\ b=\sqrt 2,\\ c=\sqrt 2,\end{cases}$$ 因此原式等于$\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2+x+\dfrac 12\right)$．

5．$\left[-\sqrt 2,\sqrt 2\right]$．

令$b=\cos\theta,c=\sin\theta$，则有

$$f'(x)=a+\cos(\theta+x)\in[a-1,a+1].$$ 由题意知$\exists x_1,x_2$，使得$f'(x_1)f'(x_2)=-1$，所以$(a-1)(a+1)\leqslant -1$，从而得到$a=0$．

6．$\pm \sqrt 2$．

提示　利用椭圆的第二定义．

7．如图，事件空间由正方体的表面及平面$ODE:a+b-c=0$，$ODF:a-b+c=0$和$OEF:-a+b+c=0$围成，为四面体$O-DEF$和四面体$G-DEF$的并集．容易求得，所求的概率为$\dfrac 12$．