练习题集[45]基础练习

1、如下图的矩阵，按斜线分组，第一组为$(1)$，第二组为$(2,3)$，第三组为$(4,6,5)$，$\cdots $，那么第$n$组中的$n$个数的和为_______．$$\begin{matrix}1&3&5&7&9&\cdots \\ 2&6&10&14&18&\cdots  \\ 4&12&20&28&36&\cdots \\ 8&24&40&56&72&\cdots  \\ 16&48&80&112&144&\cdots  \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{matrix}$$

2、已知正项等比数列$\{a_n\}$满足：$a_6=a_5+2a_4$，若存在两项$a_m,a_n$，使得$\sqrt{a_m\cdot a_n}=2a_1$，则$\dfrac 1m+\dfrac 4n$的最小值为_______．

3、定义$M(a,b)=\dfrac{a+b+|a-b|}{2}$($a,b\in\mathcal R$)．已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=a$($a>0$)，$a_2=1$，$a_{n+2}\cdot a_n=2M(a_{n+1},2)$．若$a_{2015}-a_{2016}=3a$，记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，则$S_{2016}=$_______．

4、在斜三角形$ABC$中，$A=\dfrac{\pi}3$，$H$是$\triangle ABC$的垂心，$\lambda \overrightarrow{AH}=\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\tan C}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\tan B}$，则$\lambda=$_______．

5、已知函数$f(x)={\rm e}^{2x}\left(\dfrac 12x-\dfrac 12m-\dfrac 14\right)+(m+1)x$在$(0,+\infty)$上为单调递增函数，则整数$m$的最大值为_______．

6、已知$a,b,c\geqslant 0$，且满足$ab+bc+ca=a+b+c>0$，则$\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}$的最小值为_______．

7、已知圆$O:x^2+y^2=9$，圆$C:(x-5)^2+y^2=16$，$M$为两圆在第一象限的交点，直线$l$过点$M$且被两圆截得的弦长相等，则直线$l$的方程为_______．

8、已知直角三角形$ABC$的三个内角成等差数列，且最小边长为$1$，$P$是$\triangle ABC$所在平面上一点，则$PA+PB+PC$的最小值为_______．

9、等边三角形$ABC$中，$M$是$\triangle ABC$内部（包括边界）一点且$\angle BMC=120^\circ$，则$\dfrac{MA}{MC}$的最小值为_______．

10、求证：任意整数非零等差无穷数列都包含等比无穷子列．

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参考答案

1、$3\cdot 2^n-2n-3$

提示    即差比数列求和．

2、$\dfrac 73$

3、$7255$

提示    按$a$与$2$的大小关系讨论，无论$a$是何值，$\{a_n\}$均为周期为$5$的数列．

4、$\sqrt 3$

提示    $\lambda =\dfrac{BC}{AH}=\tan A=\sqrt 3$．

5、$1$

提示    由$f'(1)\geqslant 0$，可得$m\leqslant 1$，验证即可．

 

6、$2$

提示    不妨设$a\geqslant b\geqslant c$，则$$\dfrac{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})(a+b+c)}{ab+bc+ca}\geqslant \dfrac{(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})\cdot 2\sqrt {ab}}{ab+bc+ca}\geqslant 2,$$等号$a=b=2$，$c=0$时取得．

7、$7x-24y+45=0$

8、$\sqrt 7$

提示    利用费马点图形，或者用余弦定理配合三角形面积．

9、$\dfrac{\sqrt 3}2$

提示    将$\triangle ABM$旋转到$\triangle CBM'$，则$MA=M'C$，应用正弦定理即得．

10、利用二项式定理构造．