练习题集[43]基础练习

1、以$F_1(-3,0)$，$F_2(3,0)$为焦点的双曲线与直线$y=x-1$有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为_______．

2、设数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_n-1$是$a_n$与$S_n$的等比中项，则$a_{2015}+\dfrac{1}{2016}$的值为_______．

3、正三棱柱的体积为$3\sqrt 3$，则其外接球的体积的最小值为_______．

4、已知$O$为$\triangle ABC$的外心，$AB=6$，$AC=10$，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且$2x+10y=5$，则$\cos\angle BAC=$_______．

5、已知$\triangle ABC$中，三个内角满足 $$\sin A+\sin B+\sin C-\left(\cos A+\cos B+\cos C\right)=1,$$ 求证：$\triangle ABC$为直角三角形．

6、已知点$M,N$分别是椭圆$\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$的上顶点和下顶点，$P$在直线$y=2$上运动，直线$PM,PN$分别交椭圆于$A,B$，且$A,B$不同于$M,N$．

（1）求证：直线$AB$恒过定点；

（2）求$\triangle PMN$与$\triangle PAB$面积之比的最大值．

7、已知$n$（其中$n\geqslant 3$且$n\in\mathcal N$）条线段的长度分别为$1,2,3,\cdots ,n$，求证：从中选出三条线段可以构成三角形的概率小于$\dfrac 12$．

参考答案

1、$\dfrac{3\sqrt 5}5$

提示    利用双曲线的等效判别式$\Delta_x=C^2-(a^2A^2-b^2B^2)$．

2、$\dfrac{1}{2015}$

提示    考虑数列$\left\{\dfrac{1}{S_n-1}\right\}$．

3、$4\sqrt 3\pi$

4、$\dfrac 13$或$\dfrac 35$

5、根据已知有 $$\begin{split}0&=(1+\cos A+\cos B+\cos C)^2-(\sin A+\sin B+\sin C)^2\\ &=1+2(cos A+\cos B+\cos C)+(\cos A+\cos B+\cos C)^2-(\sin A+\sin B+\sin C)^2 \\ & =1+\cos 2A+\cos 2B+\cos 2B,\end{split}$$ 我们熟知 $$\cos 2A+\cos 2B+\cos 2C=-1-4\cos A\cos B\cos C,$$ 于是 $$\cos A\cos B\cos C=0,$$ 从而$\triangle ABC$为直角三角形．

6、（1）定点为$\left(0,\dfrac 12\right)$；（2）最大值为$\dfrac 43$，当$t^2=12$时取得．

7、当最大边长为$2k-1$时，有$k^2-3k+2$个不同的三角形；当最大边长为$2k$时，有$k^2-2k+1$个不同的三角形．因此当$n=2m$时，所求概率为$\dfrac{4m-5}{2(4m-2)}$；当$n=2m-1$时，所求概率为$\dfrac{4m^2-11m+6}{2(4m^2-8m+3)}$．这就证明了无论$n$取何值，所得概率均小于$\dfrac 12$．