练习题集[36]基础练习

1、已知$F_1,F_2$为椭圆$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$的左、右焦点，若$M$为椭圆上一点，且$\triangle MF_1F_2$的内切圆的周长等于$3\pi$，则满足条件的点$M$的个数为______．

2、由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集$\mathcal Q$划分为两个非空的子集$M$与$N$，且满足$M\cup N＝\mathcal Q$，$M\cap N＝\varnothing$，$M$中的每一个元素都小于$N$中的每一个元素，则称$(M,N)$为戴金德分割．试判断，对于任一戴金德分割$(M,N)$，下列选项中不可能恒成立的是（　　）

A．$M$没有最大元素，$N$有一个最小元素

B．$M$没有最大元素，$N$也没有最小元素

C．$M$有一个最大元素，$N$有一个最小元素

D．$M$有一个最大元素，$N$没有最小元素

3、设等边三角形$ABC$的边长为$1$，$D,E$分别在边$AB,AC$上，且$CE=DE$，则线段$CE$的最小值为_______．

4、函数$y=x+\sqrt{x(2-x)}$的值域为_______．

5、设$B,D$是以$AC$为直径的圆上的两点，其中$AB=\sqrt{m+1}$，$AD=\sqrt{m+2}$，则$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=$_______．

6、如图，两条线段在菱形网格中垂直，则菱形网格中菱形的锐角为_______．

7、将一些红色珠子与蓝色珠子排成一条直线，且红、蓝色珠子都至少有一颗，并使得中间隔$6$颗或$9$颗珠子的两颗珠子必然是同色的，问这一排珠子最多可以有_______颗．

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参考答案

1、$2$．

提示    注意利用焦点三角形面积．

2、C．

提示    考虑分割点是否为有理数．若分割点为无理数，那么选项 B 正确；

若分割点为有理数，那么选项 A 或选项 D 正确．

3、$2\sqrt 3-3$．

提示    当$ED\perp AB$时，线段$CE$取得最小值．

4、$\left[0,\sqrt 2+1\right]$．

提示    令$x=2\cos^2\theta$．

5、$1$．

提示    换底公式．

6、$\dfrac{\pi}3$．

7、$15$．

提示    将第$3,6,10,13$颗珠子染为红色，其他珠子为蓝色即可得到$15$颗珠子的例子．若珠子有$16$颗，那么

$$1,8,15,5,12,2,9,16,6,13,3,10$$ 为同色，且$1,11,4,14,7$也为同色，因此所有的珠子都同色，矛盾．