练习题集[41]基础练习

1、已知等差数列$\{a_n\}$满足$a_9<0$，且$a_8>|a_9|$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=a_na_{n+1}a_{n+2}$($n\in\mathcal N^*$)，$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n$，当$S_n$取得最大值时，$n$的值为_______．

2、已知$f(x)=\left|x\cdot {\rm e}^x\right|$，又关于$x$的方程$f^2(x)-tf(x)=-1$有$4$个不同的实数根，则$t$的取值范围是_______．

3、已知锐角三角形$ABC$中，$C=60^\circ$，$c=2$，则$a^2+b^2$的取值范围是______．

4、已知定义在$R$上的函数$f(x)$满足 $$f(x+y)=f(x-y)+2f(y)\cos x,$$ 且$f(1)=m$，则$f(2016)=$_______．

5、已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($0<b<3$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$，过点$F_1$的直线交椭圆于$A,B$两点，若$\overrightarrow{AF_1}=2\overrightarrow{F_1B}$，且$\overrightarrow{AF_2}\cdot \overrightarrow{BF_2}=16$，则$b=$_______．

6、若函数$f(x)=x\ln x-ax^2-x+1$存在最大值，则$a$的取值范围是_______．

7、若$x$为锐角，则$\dfrac{225}{4\sin ^2x}+\dfrac{2}{\cos x}$的最小值为_______．

参考答案

1、$6$．

提示    $b_1,b_2,\cdots ,b_6>0$，$b_9,b_{10},\cdots <0$，而$b_7+b_8<0$．

2、$\left(\dfrac{{\rm e}^2+1}{\rm e},+\infty\right)$．

3、$\left(\dfrac {20}3,8\right]$．

4、$\dfrac{m\sin 2016}{\sin 1}$．

提示    设$f(n)=a_n$，易得$a_0=0$，$a_1=m$，而 $$a_{n+2}=a_n+2m\cos (n+1),$$ 于是 $$a_{2016}=2m\cos 1+2m\cos 3+\cdots +2m\cos 2015,$$ 裂项求和即得．

5、$2$．

6、$\left(0,\dfrac{1}{{\rm e}^2}\right]$．

提示      显然$0<2a<\dfrac 1{\rm e}$，此时极大值不小于$\lim\limits_{x\to 0}f(x)=1$即可．

7、$68$．

提示    原式可化为 $$\dfrac{225}{4\sin^2x}+m\sin^2 x+\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\cos x}+m\cos^2x -m,$$ 利用均值不等式及取等条件可以解得$m=64$．