练习题[11] 创新能力培养基础练习

1、设连续正整数的集合$I=\{1,2,3,\cdots,238\}$，若$T$是$I$的子集且满足条件：当$x\in T$时，$7x\not\in T$， 则集合$T$中元素个数最多是_______．

2、已知$f(x)$在$\mathcal R$上单调递增，且对于任何实数$x$，均有$f\left[f(x)-3^x\right]=4$，则$f(2015)$的值为_______．

3、已知函数$f(x)=\dfrac{\sin{\pi x}}{{\pi}^x+{\pi}^{1-x}}$（$x\in\mathcal{R}$）．下列命题：

① 函数$f(x)$既有最大值又有最小值；

② 函数$f(x)$是轴对称图形；

③ 函数$f(x)$在区间$\left[-\pi,\pi\right]$上共有$7$个零点；

④ 函数$f(x)$在区间$(0,1)$上单调递增．

其中真命题是_______．（填上所有真命题的序号）

4、函数$f(x)=\cos x+x\sin x$，$x\in\left[-\pi,\pi\right]$的极值点个数为_______．

5、设$a$为实数，函数$f(x)=x^2+\left|x-a\right|+1$的最小值_______．

6、定义在$\mathcal{R}$上的函数$f(x)$为奇函数且为减函数，若$s,t$满足

$$f\left(s^2-2s\right)\leqslant{-f\left(2t-t^2\right)},$$ 则当$1\leqslant{s}\leqslant{4}$时，$\dfrac{s}{t}$的取值范围是_______．

7、中韩围棋擂台赛每方出八名棋手进行比赛（双方棋手的出场顺序已经确定），规定：每方先出一名棋手进行比赛，胜者继续参赛，负者被淘汰，依次进行，直到一方选手全部被淘汰，则比赛结束．假定中韩双方胜负的概率均等，那么

（1）一共可能出现的比赛结果总数为_______；（写出算式即可）

（2）中方在获胜的时候只剩下最后一名选手的概率为_______．（写出算式即可）

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参考答案

1、$208$

2、$3^{2015}+1$

3、①②③    提示   ①可以考虑在某个闭区间上存在最值，且闭区间外有界；④注意$f(0)=f(1)=0$．

4、$3$

5、$\begin{cases}\dfrac 34-a,&a<-\dfrac 12\\a^2+1,&-\dfrac 12\leqslant a\leqslant\dfrac 12\\\dfrac 34+a,&a>\dfrac 12\end{cases}$

6、$[-2,1]$

7、（1）$2{\mathrm C}_{15}^7$；（2）$\dfrac{1}{2^{15}}{\mathrm C}_{14}^{7}$．

提示    可以用每次比赛淘汰的选手的排列来计算．